Uma barra metálica cilíndrica de comprimento , isolado em sua superfície lateral, se encontra em contato em uma de suas extremidades com uma parede à temperatura e, na outra extremidade, com uma parede à temperatura . A temperatura inicial ao longo da barra varia linearmente com a posição , de acordo com
A barra tem, então, suas extremidades isoladas e eventualmente atinge um estado final de equilíbrio em que a temperatura é . Avalie em termos de e e mostre que a quantidade de entropia gerada é
Em que é o calor específico da barra.
Passo 1
Bora resolver esse exercício comigo?
Vamos lá!
Começamos o nosso problema aplicando um balanço de energia em nosso sistema:
Para um sistema isolado:
A temperatura final pode ser determinada utilizando um balanço de energia.
Cada elemento da haste muda a temperatura de até a temperatura final
A mudança na energia integral pode ser escrita como:
Integrando:
Desde que :
Passo 2
Obtendo a geração de entropia.
Da equação de equilíbrio de entropia:
Sendo isolado:
A variação de entropia de um elemento da haste é:
Integrando:
Utilizando a distribuição de temperatura dada, a variável de integração pode ser alterada de para :
A partir da equação acima, a integral pode ser escrita como:
Substituindo na equação de entropia:
Rearranjando: