Uma barra metálica cilíndrica de comprimento L , isolado em sua superfície lateral, se encontra em contato em uma de suas extremidades com uma parede à temperatura T H e, na outra extremidade, com uma parede à temperatura T C . A temperatura inicial ao longo da barra varia linearmente com a posição z , de acordo com

T z = T H - T H - T C L z

A barra tem, então, suas extremidades isoladas e eventualmente atinge um estado final de equilíbrio em que a temperatura é T f . Avalie T f em termos de T H e T C e mostre que a quantidade de entropia gerada é

σ = m c 1 + ln ⁡ T f + T C T H - T C ln ⁡ T C - T H T H - T C ln ⁡ T H

Em que c é o calor específico da barra.

Passo 1

Bora resolver esse exercício comigo?

Vamos lá!

Começamos o nosso problema aplicando um balanço de energia em nosso sistema:

∆ s = Q - W

Para um sistema isolado:

∆ U = 0

A temperatura final pode ser determinada utilizando um balanço de energia.

Cada elemento da haste d z muda a temperatura de T z até a temperatura final T f .

A mudança na energia integral pode ser escrita como:

d U = d m c T f - T z

d U = ρ A d z c T f - T z

Integrando:

∆ U = ∫ 0 L ρ A d z c T f - T z

∆ U = ρ A c ∫ 0 2 T f - T H + T H - T C L z d z

∆ U = ρ A c L T f - T H + T H - T C 2

Desde que ∆ U = 0 :

ρ A c L T f - T H + T H - T C 2 = 0

T f - T H + T H - T C 2 = 0

T f = T H - T H - T C 2

T f = T H + T C 2

Passo 2

Obtendo a geração de entropia.

Da equação de equilíbrio de entropia:

∆ s = ∫ 1 2 d Q T + σ

Sendo isolado:

σ = ∆ s

A variação de entropia de um elemento da haste d z é:

d s = d m c ln ⁡ T f T z

d s = ρ A c d z T f T z

Integrando:

σ = ρ A c ∫ 0 L ln ⁡ T f - ln ⁡ T z d z

ρ = ρ A c [ L ln ⁡ T f - ∫ 0 L ln ⁡ T ( z ) d z

Utilizando a distribuição de temperatura dada, a variável de integração pode ser alterada de  z  para T :

d T = - T H - T C L d z

d z = - L T H - T C d T

A partir da equação acima, a integral pode ser escrita como:

∫ 0 L ln ⁡ T ( z ) d z = ∫ T H T C ln ⁡ T - L T H - T C d T

∫ 0 L ln ⁡ T ( z ) d z = L T H - T C T H ln ⁡ T H - T H - T C ln ⁡ T C - T C

∫ 0 L ln ⁡ T ( z ) d z = L T H ln ⁡ T H T H - T C - T C ln ⁡ T C T H - T C - 1

Substituindo na equação de entropia:

σ = ρ A c ln ⁡ T f L - L T H ln ⁡ T H T H - T C - T C ln ⁡ T C T H - T C - 1

Rearranjando:

σ = m c 1 + ln ⁡ T f + T C ln ⁡ T C T H - T C - T H ln ⁡ T H T H - T C

Resposta

T f = T H + T C 2

σ = m c 1 + ln ⁡ T f + T C ln ⁡ T C T H - T C - T H ln ⁡ T H T H - T C

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