Enunciado

Com base na Eq. 11.122,

(a) calcule ln f para um gás que obedece à equação de estado de Redlich-Kwong.

(b) Utilizando o resultado do item (a), calcule a fugacidade, em bar, para o Refrigerante 134a a 90°C e 10 bar. Compare o resultado com o valor da fugacidade obtido a partir do diagrama generalizado de fugacidade.

Passo 1

E aiiii , vocês estão prontos crianças??

Estamos capitão rs, parei galeraaa, bora lá?

  1. Vamos escrever a equação da fugacidade
  2. R ¯ T ∂ ln ⁡ f ∂ p T = v ¯

    R ¯ T ln ⁡ f ] p ' p = ∫ p ' p v ¯ d p                                     ( 1 )

    Para integrar o lado direito da equação (1), considere o diagrama de um gás que obedece á equação de Redlich-Kwong : p - v ¯

    Passo 2

    Interprete a área do gráfico de duas maneiras, conforme mostrado na figura anterior. Como as duas áreas são iguais, temos:

    ∫ p ' p v ¯ d p + p ' v ' ¯ = ∫ v ¯ v ' ¯ p d v ¯ + p v ¯

    ∫ p ' p v ¯ d p = ∫ v ¯ v ' ¯ p d v ¯ + p v ¯ - p ' v ' ¯

    ∫ p ' p v ¯ d p = p v ¯ - p ' v ' ¯ - ∫ v ¯ v ' ¯ p d v ¯                                     ( 2 )

    Substituindo a equação (2) na equação (1), temos:

    R ¯ T ln ⁡ f ] p ' p = p v ¯ - p ' v ' ¯ - ∫ v ¯ v ' ¯ p d v ¯                 ( 3 )

    Vamos escrever a equação de Redlich-Kwong

    p = R ¯ T v - b - a v ¯ v ¯ + b T 1 / 2

    Passo 3

    Agora vamos substituir a equação de Redlich-Kwong na expressão (3)

    R ¯ T ln ⁡ f ] p ' p = p v ¯ - p ' v ' ¯ - ∫ v ¯ v ' ¯ R ¯ T v ¯ - b - a v ¯ v ¯ + b T 1 2 d v ¯

    ln ⁡ f - ln ⁡ f ' = p v ¯ R ¯ T - p ' v ' ¯ R ¯ T - 1 R ¯ T ∫ v ¯ v ' ¯ R ¯ T v ¯ - b d v ¯ - ∫ v ¯ v ' ¯ a v ¯ v ¯ + b T 1 2 d v ¯

    = p v ¯ R ¯ T - p ' v ' ¯ R ¯ T - ∫ v ¯ v ' ¯ 1 v ¯ - b d v ¯ + a R ¯ T 1 / 2 ∫ v ¯ v ' ¯ 1 v ¯ v ¯ + b d v ¯

    Avaliando as integrais

    ln ⁡ f - ln ⁡ f ' = p v ¯ R ¯ T - p ' v ' ¯ R ¯ T - ∫ v ¯ v ' ¯ 1 v ¯ - b d v ¯ + a R ¯ T 1 / 2 ∫ v ¯ v ' ¯ 1 v ¯ v ¯ + b d v ¯

    = p v ¯ R ¯ T - p ' v ' ¯ R ¯ T - ln ⁡ 1 v ' ¯ - b 1 v ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯ 1 1 + b v ' ¯  

          = p v ¯ R ¯ T - p ' v ' ¯ R ¯ T - ln ⁡ v ¯ - b v ' ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯ 1 1 + b v ' ¯

    ln ⁡ f = p v ¯ R ¯ T - p ' v ' ¯ R ¯ T - ln ⁡ f ' v ' ¯ - b   v ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯ 1 1 + b v ' ¯             ( 4 )

    Passo 4

    Agora iremos considerar os limites como p ' → 0     i . e . ,   v ' ¯ → ∞ na temperatura fixa T

    Logo,

    f ' → p ' → 0 ,   p ' v ' ¯ → R ¯ T ,   p ' v ' ¯ - b → R ¯ T       e     1 + b v ' ¯ → 1

    Sendo assim a equação (4),fica da seguinte maneira

    ln ⁡ f = p v ¯ R ¯ T - 1 - ln ⁡ R ¯ T v ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯

    Substitua o fator de compressibilidade Z por   p v ¯ / R ¯ T

    ln ⁡ f = Z - 1 - ln ⁡ R ¯ T v ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯           ( 5 )

    Passo 5

    Vamos considerar a equação de Redlich-Kwong

    p = R ¯ T v ¯ - b - a v ¯ v ¯ + b T 1 / 2

    Multiplique por v ¯ / R ¯ T em ambos os lados e substitua Z por   p v ¯ / R ¯ T ,

    p v ¯ R ¯ T = v ¯ R ¯ T R ¯ T v ¯ - b - v ¯ R ¯ T a v ¯ v ¯ + b T 1 2

    Z = v ¯ v ¯ - b - a v ¯ + b R T 3 2                               ( 6 )

    Substitua a equação (6) na equação (5)

    ln ⁡ f = v ¯ v ¯ - b - a v ¯ + b R T 3 2 - 1 - ln ⁡ R ¯ T v ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯           ( 7 )

    Portanto, a equação (7) é a relação necessária.

    Passo 6

  3. Da tabela de propriedades críticas de substâncias selecionadas, para o refrigerante R134a

Temperatura crítica T c = 374   K

Pressão crítica, p c = 40.7   b a r

Temperatura do refrigerante

T = 90 ° C .

T = 273 + 90 = 363   K .

Pressão do refrigerante p = 10   b a r

Temperatura reduzida

T R = T T c

T R = 363 374

T R = 0.97

Pressão reduzida

p R = p p c

p R = 10 40.5

p R = 0.25

Passo 2

Partindo do gráfico do coeficiente de fugacidade generalizado, no T R = 0.97   e   p R = 0.25

O coeficiente de fugacidade é

f p = 0.92

f ≈ 0.92 × 10

f = 9.2   b a r

Sendo assim, a fugacidade do gás de acordo com o gráfico é de 9.2 bar

Calcularemos os coeficientes de van der Waal para o refrigerante R134a

a = a ' = R 2 ¯ T C 5 2 p c

Onde a ' = 0.42748

a = 0.42748 0.08314 2 0.97 5 2 0.25

= 196.39   b a r m 3 k m o l 3 K 1 / 2

b = b ' R ¯ T c p c

Onde b ' = 0.08664

b = 0.08664 0.08314 0.97 0.25  

= 0.0662 m 3 k m o l

Passo 3

Vamos substituir os valores obtidos dos coeficientes de van der Waal junto com os valores da constante universal do gás, pressão e temperatura de Redlich-Kwong para obter v ¯

p = R ¯ T v ¯ - b - a v ¯ v ¯ + b T 1 / 2

10 = 0.08314 363 v ¯ - 0.0662 - 196.39 v ¯ v ¯ + 0.0662 363 1 2

Resolvendo a equação quadrática acima, iremos obter:

v ¯ = 2.724   m 3 / k m o l

Substituindo os valroes obtidos na equação (7), para podermos obter a fugacidade, temos:

ln ⁡ f = v ¯ v ¯ - b - a v ¯ + b R T 3 2 - 1 - ln ⁡ R ¯ T v ¯ - b - a R ¯ T 3 2 ln ⁡ v ¯ + b v ¯

= 2.724 2.724 - 0.0662 - 196.39 2.724 + 0.0662 0.08314 363 1 2 - 1 - ln ⁡ 0.08314 363 2.724 - 0.0662

- 196.39 0.08314 363 3 2 ln ⁡ 2.724 + 0.0662 2.724

= 2.208

f = 9.1   b a r

A fugacidade do refrigerante calculada é 9.1 bar

Pode se observar que os valores obtidos do gráfico e dos cálculos quase concordam entre si.

Resposta

Vide o passo a passo!

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