Um gás contigo em um conjunto cilindro-pistão passa por um processo no qual a relação entre pressão e o volume é dada por p . V 2 = c o n s t a n t e . A pressão inicial é de 1 bar, o volume inicial é de 0,1 m³ e a pressão final é de 9 bar. Determine (a) o volume final, em m³, e (b) o trabalho para o processo, em kJ.

Passo 1

Vamos começar analisando o enunciado. O esquema de um conjunto cilindro-pistão que contém um gás é o seguinte:

Foi dito que esse conjunto aí de cima respeita a relação p . V 2 = c o n s t a n t e   e foram fornecidos alguns dados:

n = 2 p 0 = 1   b a r V 0 = 0,1   m ³ p f = 9   b a r

Passo 2

Na letra (a) é pedido o volume final em m³. Para isso podemos utilizar a equação que o próprio enunciado nos deu!

p . V 2 = c o n s t a n t e

Mas como vamos utiliza-la? Se o produto p . V ² é constante, então na situação inicial ele vale o mesmo que na situação final, certo?

p 0 . V 0 2 = c o n s t a n t e p f . V f 2 = c o n s t a n t e p 0 . V 0 2 = p f . V f 2

Mas olha só! Nós já temos p 0 , p f   e   V 0 . Então é só substituir na relação acima! Como a pressão do lado esquerdo vai simplificar com a pressão do lado direito não vamos precisar nem mudar as unidades.

1 ∙ 0,1 2 = 9 ∙ V f 2 V f 2 = 0,00 1 ¯ Como não existe volume negativo, vamos pegar apenas o resultado positivo!

V f = 0,033   m ³

Como V f > V 0 temos um processo de expansão!

Passo 3

Para a letra (b) queremos calcular o trabalho no processo. De equação nos deram apenas p . V 2 = c o n s t a n t e . Vamos chamar essa constante de c para facilitar! p . V 2 = c

Vamos reescrever da seguinte forma:

p = c V 2

p = c ∙ V - 2

Ah! Mas pra que isso? Pra poder substituir a pressão naquela fórmula do trabalho!!

W = ∫ V 1 V 2 p ∙ d V

Ficando assim:

W = ∫ V 0 V f c ∙ V - 2 ∙ d V

W = c ∙ V - 1 - 1 V 0 V f

Mas nós não temos c, certo? Errado! O enunciado nos deu o valor de c, que é c =   p . V 2 . Lembrando que quando substituirmos o c, teremos que avaliar tanto nos volumes ( V f   e   V 0 ) quanto nas pressões ( p f   e   p 0 )

W = p ∙ V ² ∙ V - 1 - 1 p 0 , V 0 p f ,   V f

W = - p f ∙ V f - - p 0 ∙ V 0

W =   - 9 ∙ 0,033 + 1 ∙ 0,1

W =   - 0,197   b a r ∙ m ³

Acabou? Não! Temos que passar de bar.m³ para kJ! Para multiplicar por 100! W =   - 19,7   k J

Resposta

a) V f = 0,033   m 3 b) W = -19,7 kJ

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