De modo a conservar os equipamentos, o suprimento de ar de um escritório de 2000 ft³ (56,6 m³) é fechado durante a noite e a temperatura ambiente cai para 40°F (4,4°C). Pela manhã, um funcionário regula o termostato para 70°F (21,1°C), e 200 ft³/min (0,09 m³/s) de ar a 120°F (48,9°C) começam a escoar através de uma linha de alimentação. O ar é bem misturado no interior do ambiente, e uma vazão mássica de ar à temperatura ambiente é retirada através de um duto de retorno. A pressão do ar é praticamente igual a 1 atm no processo. Ignorando a transferência de calor para a vizinhança e os efeitos das energias cinética e potencial, estime o tempo necessário para que a temperatura do ambiente atinja 70°F.

Passo 1

Faaaala pessoal! Vamos fazer essa questão de análise de volumes de controle??

Começando organizando algumas hipóteses para prosseguirmos com os cálculos:

1 – Para o volume de controle sendo o escritório, temos W ˙ V C = Q ˙ V C = 0 e temos que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis.

2 – A pressão é constante em todos os lugares à 1 atm.

3 – O ar se comporta como gás ideal durante o processo.

Vamos organizar também os dados fornecidos!

V = 2.000   f t ³ T 2 = 70 ° F = 530 ° R T i = 40 ° F = 500 ° R V a z ã o s = 200   f t 3 / m i n = 3,33   f t 3 / s T s = 120 ° F = 580 ° R p = 1   a t m = 2116,22   l b f / f t ²

Agora vamos para os cálculos!

Passo 2

Vamos começar fazendo o balanço de massa! Como o volume de controle tem apenas 1 saída e nenhuma entrada, temos:

d m V C d t = m s ˙ - m r ˙

E como a quantidade de ar que entra é igual a que sai, m ˙ s = m ˙ r , ou seja:

d m V C d t = 0

Fazemos agora o balanço energético, lembrando sempre da hipótese 1!!

d U V C d t = m ˙ s ∙ h s - m ˙ r ∙ h r

Como o processo ocorre lentamente, ou seja, em regime permanente, o estado do ar no tanque em qualquer momento é unifome! Então U V C = m ∙ u , e como o ar é tratado como um gas ideal h e = u + R . T . Substituindo ambas equação no balanço energético, vamos ter:

m ∙ d u d t + u ∙ d m d t = m ˙ s ∙ ( h s - h r )

Rearrumando um pouco, temos:

m ∙ d u d t = m ˙ s ∙ ( h s - h r )

Você lembra qual a relação da energia interna específica com a temperatura? Se não lembra não tem problema, é essa aqui:

d u = c v ∙ d T

E temos também:

h s - h r = c p ( T s - T )

Então substituindo na equação anterior, ficamos com:

m ∙ c v ∙ d T d t = m ˙ s ∙ c p ( T s - T )

Que podemos arrumar da seguinte maneira:

m ∙ - d ( T s - T ) d t = m ˙ s ∙ c p c v ∙ ( T s - T )

Onde c p / c v = k

m ∙ - d ( T s - T ) k ∙ ( T s - T ) = m ˙ s ∙ d t

Beleza!!! Mas não temos nenhuma informação sobre a massa m e m ˙ s né? E agora?

Passo 3

Lembra que

m ˙ s = V a z ã o s v

Como o ar está sendo tratado como gás ideal podemos fazer:

m ˙ s = p ∙ V a z ã o s R ∙ T s

Subsituindo pelos dados:

m ˙ s = 2116,22 ∙ 3,33 1545 28,97 ∙ 580

m ˙ s = 0,228   l b / s

E para a massa inicial m, temos:

m = p V R T

Onde T é a media entre a temperatura inicial 500°R e a temperatura final 530°R apenas para a estimativa da massa:

m = 2116,22 ∙ 2000 1545 28,97 ∙ 515

m = 154   l b

Passo 4

Agora vamos voltar para a equação que achamos do balanço energético!

- m ∙ d ( T s - T ) k ∙ ( T s - T ) = m ˙ s ∙ d t

Temos:

- m ∙ d ( T s - T ) k ∙ T s - T ∙ m ˙ s = d t

Integrando de ambos lados:

∆ t = - m k ∙ m ˙ s ∙ ln ⁡ T s - T T s - T i

Podemos achar k na tabela A-20E do livro! k=1,4.

Substituindo todos os dados e fazendo T = T 2 porque queremos o tempo total do processo:

∆ t = - 154 1,4 ∙ 0,228 ∙ ln ⁡ 580 - 530 580 - 500

∆ t = 226,76   s

E acabou! Finalmente!

Resposta

∆ t = 226,76   s

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