Em regime permanente, uma câmara de mistura isolada recebe duas correntes de líquido da mesma substância nas temperaturas T 1 e T 2 e vazões mássicas m ˙ 1 e m ˙ 2 , respectivamente. Uma única corrente sai com uma temperatura T 3 e a uma vazão m ˙ 3 . Utilizando o modelo de substância incompressível com calor específico constante c , obtenha uma expressão para:

b) A taxa de geração de entropia por unidade de massa descarregada da câmara em termos de c ,   T 1   / T 2 e m ˙ 1 / m ˙ 3 .

Passo 1

Letra b)

Aqui, começamos aplicando a equação de equilíbrio de entropia em estado estacionário:

∑ Q i T i + m ˙ 1 s 1 + m ˙ 2 s 2 - m ˙ 3 s 3 + σ ˙ = 0

Como o nosso sistema é isolado:

∑ Q i T i = 0

Assim, temos:

m ˙ 1 s 1 + m ˙ 2 s 2 - m ˙ 3 s 3 + σ ˙ = 0

m ˙ 1 s 1 + m ˙ 3 - m ˙ 1 s 2 - m ˙ 3 s 3 + σ ˙ = 0

m ˙ 1 s 1 - s 2 + m ˙ 3 s 2 - s 3 + σ ˙ = 0

Passo 2

Sendo:

∆ s = m ˙ c v ln ⁡ T 2 T 1

Rearranjando a nossa equação do Passo 1:

m ˙ 1 c v ln ⁡ T 1 T 2 + m ˙ 3 c v ln ⁡ T 2 T 3 + σ ˙ = 0

σ ˙ m ˙ 3 = c m ˙ 1 m ˙ 3 ln ⁡ T 2 T 1 + ln ⁡ T 3 T 2

Substituindo T 3 obtido na Letra (a):

σ ˙ m ˙ 3 = c m ˙ 1 m ˙ 3 ln ⁡ T 2 T 1 + ln ⁡ T 2 + m ˙ 1 m ˙ 3 T 1 - T 2 T 2

σ ˙ m ˙ 3 = c m ˙ 1 m ˙ 3 ln ⁡ T 2 T 1 + ln ⁡ 1 + m ˙ 1 m ˙ 3 T 1 T 2 - m ˙ 1 m ˙ 3

Passo 3

Fazendo x = m ˙ 1 m ˙ 3 :

σ ˙ m ˙ 3 = c x ln ⁡ T 2 T 1 + ln ⁡ 1 + x T 1 T 2 - x

Aplicando propriedades logarítmicas:

σ ˙ m ˙ 3 = c ln ⁡ T 2 T 1 x 1 + x T 1 T 2 - x

Passo 4

Voltando x :

σ ˙ m ˙ 3 = c ln ⁡ T 2 T 1 m ˙ 1 m ˙ 3 1 + m ˙ 1 m ˙ 3 T 1 T 2 - m ˙ 1 m ˙ 3

E assim, finalizamos a letra (b).

Mas não acabamos a nossa questão!

Bora para a letra (c)!

Resposta

b )   σ ˙ m ˙ 3 = c ln ⁡ T 2 T 1 m ˙ 1 m ˙ 3 1 + m ˙ 1 m ˙ 3 T 1 T 2 - m ˙ 1 m ˙ 3

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