Enunciado

Um sistema executa um ciclo de potência enquanto recebe 1000 kJ por transferência de calor a uma temperatura de 500 K e descarrega energia por transferência de calor a uma temperatura de 300 K. Não ocorrem outras trocas de calor. Aplicando a Eq. 5.13, determine σciclo se a eficiência térmica é:

(a) 100%

(b) 40%

(c) 30% 

Identifique os casos (se existirem) que sejam internamente reversíveis ou impossíveis.

Passo 1

Chato esse negócio de “ah, só pode fazer por determinada equação”. Mas... Não foi a gente quem criou o problema. Então, vamos só resolver mesmo. E exatamente como ele pede.

De acordo com o enunciado, é exigido o uso da Desigualdade de Clausius para conclusão do ciclo, então, vamos relembrar a fórmula, né?

- σ c i c l o   =   ∮ ∂ Q T b =   Q e n t r a d a T h o t - Q s a í d a T c o l d

Ou, pra ficar mais fácil de visualizar para a questão:

- σ c i c l o = Q h o t T h o t - Q c o l d T c o l d

E, com isso, podemos começar a resolver.

Passo 2

Só com a desigualdade, já dá pra ver que precisaremos de Q c o l d em cada etapa. Sendo assim, podemos reorganizar o cálculo da seguinte forma:

Q c o l d = Q h o t   1 -   T c o l d T h o t

Onde podemos condicionar o valor de T c o l d T h o t a eficiência em questão, ou seja:

Na letra ‘a’, Q c o l d = Q h o t   1 - 100 %

Na letra ‘b’, Q c o l d = Q h o t   1 - 40 %

Na letra ‘c’, Q c o l d = Q h o t   1 - 30 %

Agora, tudo na paz. Vamos pra conta (q é bem tranquilinha)

Passo 3

a) Eficiência em 100%

→ JÁ É IMPOSSÍVEL, POR SI SÓ, mas vamos pela Desigualdade:

Q c o l d = Q h o t   1 - 100 %

Q c o l d = 1000   1 - 100 %

Q c o l d = 1000   1 - 1

Q c o l d = 0   k J / K

Seria um sistema sem nenhuma perda de energia, mas...

- σ c i c l o = Q h o t T h o t - Q c o l d T c o l d

- σ c i c l o = 1000 500 - 0 300

- σ c i c l o = 2 - 0

σ c i c l o = - 2   k J / K

Ou seja, σ c i c l o < 0 o que torna nosso ciclo IMPOSSÍVEL quando a eficiência é de 100%.

Passo 4

b) Eficiência em 40%

→ JÁ É REVERSÍVEL, POR CONTA DE η =   η m a x , mas vamos pela Desigualdade:

Q c o l d = Q h o t   1 - 40 %

Q c o l d = 1000   1 - 0,4

Q c o l d = 1000   0,6

Q c o l d = 600   k J

Colocando nosso Q c o l d pra jogo, temos:

- σ c i c l o = Q h o t T h o t - Q c o l d T c o l d

- σ c i c l o = 1000 500 - 600 300

- σ c i c l o = 2 - 2

σ c i c l o = 0   k J / K

Ou seja, σ c i c l o = 0 o que torna nosso ciclo REVERSÍVEL quando a eficiência é de 40%.

Passo 5

a) Eficiência em 100%

→ JÁ É IRREVERSÍVEL, POR CONTA DE η <   η m a x   , mas vamos pela Desigualdade:

Q c o l d = Q h o t   1 - 30 %

Q c o l d = 1000   1 - 0,3

Q c o l d = 1000   0,7

Q c o l d = 700   k J

Colocando nosso Q c o l d pra jogo, temos:

- σ c i c l o = Q h o t T h o t - Q c o l d T c o l d

- σ c i c l o = 1000 500 - 700 300

- σ c i c l o = 2 - 2,33

σ c i c l o = 0,33   k J / K

Ou seja, σ c i c l o > 0 o que torna nosso ciclo IRREVERSÍVEL quando a eficiência é de 30%.

Resposta

a) σ c i c l o = - 2   k J / K → ciclo IMPOSSÍVEL

b) σ c i c l o = 0   k J / K → ciclo REVERSÍVEL

c) σ c i c l o = 0,33   k J / K → ciclo IRREVERSÍVEL

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