Enunciado

Um sistema fechado que consiste em 14,5 lb (6,6 kg) de ar passa por um processo politrópico de p 1 =   80 lbf/in³ (551,6 kPa) e v 1 = 4 ft³/lb (0,2 m³/kg) até um estado final em que p 2 =   20 lbf/in² (137,9 kPa), v 2 = 11 ft³/lb (0,7 m³/kg). Determine a quantidade de energia transferida por meio de trabalho, em Btu, para o processo.

Passo 1

O enunciado nos diz que, em um sistema fechado, um gás passa de um volume específico v 1 = 4 ft³/lb para um v 2 = 11 ft³/lb, ou seja, ele aumenta de volume através de um processo politrópico!

Mas o que essa informação de “processo politrópico” nos dá de importante? Se um processo é politrópico ele segue a seguinte relação:

p . V n = c o n s t a n t e

Lembrou dela? Mas olha que interessante, se dividirmos ambos os lados da equação pela massa do gás elevada a n também:

p . V n m n = c o n s t a n t e m n

p . V m n = c o n s t a n t e m n

Como v = V / m , temos:

p . v n = c o n s t a n t e

Legal né? Agora vamos só dá uma organizada nos dados da questão e partir para os cálculos!

m = 14,5   l b p 1 = 80   l b f / i n ² = 11.520   l b f / f t ² v 1 = 4   f t 3 / l b p 2 = 20   l b f / i n ² = 2.880   l b f / f t ² v 2 = 11   f t 3 / l b

Só mais uma coisinha, guarda aí com carinho que daqui a pouco vamos usar! Se v = V / m então:

m . v = V

d V = m . d v

Passo 2

Se o processo é politrópico e segue a relação p . v n = c o n s t a n t e . Quem é esse n?

Para acharmos o n, basta igualar esse produto no estado 1 com o do estado 2.

p 1 . v 1 n = p 2 . v 2 n

p 1 p 2 = v 2 n v 1 n

p 1 p 2 = v 2 v 1 n

Difícil isolar o n com ele no expoente, certo? Então vamos aplicar log de ambos os lados para descer ele pra equação!

log ⁡ p 1 p 2 = n . log ⁡ v 2 v 1

n = log ⁡ p 1 p 2 log ⁡ v 2 v 1

n = log ⁡ 11.520 2.880 log ⁡ 11 4

n = 1,37  

Com o n calculado, podemos também achar o valor da constante que vamos chamar de c:

p 1 . v 1 n = c

11.520 ∙ 4 1,37 = c

c =   76.961,7

Passo 3

Agora vamos partir para o cálculo do trabalho!

W = ∫ V 1 V 2 p ∙ d V

Lembra que você guardou com muito carinho uma equação? Agora é a hora de usa-la para substituir o dV!

W = ∫ v 1 v 2 p ∙ m ∙ d v

E quem é essa pressão? Podemos acha-la na primeira relação p = c . v - n

W = ∫ v 1 v 2 c ∙ v - n ∙ m ∙ d v

Já que c e m são constantes, podemos coloca-los para fora da integral e continuar os cálculos!

W = c ∙ m ∙ ∫ v 1 v 2 v - n ∙ d v

W = c ∙ m ∙ v 1 - n 1 - n v 1 v 2

W = c ∙ m ∙ v 2 1 - n 1 - n - v 1 1 - n 1 - n

Agora é só substituir tudo e achar o trabalho!

W = 76.961,7 ∙ 14,5 ∙ 11 - 0,37 - 0,37 - 4 - 0,37 - 0,37

W = 563 . 826 , 57   l b f . f t Mas vamos lembrar que o enunciado pediu esse trabalho em Btu! Basta dividir o resultado por 778:

W = 724,7   B t u

Resposta

W = 724,7 Btu

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