Enunciado

Suponha que uma linha reta ligue os pontos: p = 0 ,   Z = 1 e o ponto crítico Z = Z c , p = p c no diagrama de Z em função p . Essa linha será tangente a uma isotérmica numa pressão baixa.

a Qual será a temperatura reduzida correspondente a essa isotérmica para a equação de Van der Waals?

b Repita a parte a para a equação de estado de Redlich-Kwong.

(Veja a nota apresentada no prob. 13.56)

Passo 1

E aí bonit@s, como vocês estão? Prontos pra mais uma questão maneira?

Se liguem só, para representar nosso problema vamos tomar o seguinte diagrama como referência

Temos que a inclinação para esse gráfico é dada por

i n c l i n a ç ã o = Z c - 1 P c - 0

Mas para T = T ' temos que essa inclinação é igual a

lim p → 0 ⁡ ∂ Z ∂ P T

Dessa forma teremos

lim p → 0 ⁡ ∂ Z ∂ P T = lim p → 0 ⁡ Z - 1 P - 0 = 1 R T ⋅ lim p → 0 ⁡ v - R T P

Usando a solução do problema 13.25 do livro vamos ter

lim p → 0 ⁡ ∂ Z ∂ P T = Z c - 1 P c = 1 R T ' ⋅ b - a R T '

→ 1 - Z c P c ⋅ R T ' 2 + b R T ' - a = 0

Agora vamos substituir os valores das nossas constantes

Z c = 3 8 ,     a = 27 64 ⋅ R ' T c 2 P c ,     b = R T c 8 P C

Substituindo e simplificando nossa equação chegamos em

40 T r ' 2 + 8 T r ' - 27 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau e desprezando a raíz negativa vamos encontrar T r ' = 0,727 .

Passo 2

Usando agora a equação de estado de Redlich-Kwong para a solução de 13.25 vamos ter

lim p → 0 ⁡ ∂ Z ∂ P T = Z c - 1 P c = 1 R T ' ⋅ b - a R T ' 2 3

→ 1 - Z c P c ⋅ R 2 T ' 5 2 + b R T ' 3 2 - a = 0

Para esse caso vamos ter

Z c = 1 3 ,     a = 0,42748 ⋅ R 2 T c 5 2 P c ,     b = 0,08664 ⋅ R T c P C

Dessa forma, ficamos com

2 3 ⋅ T r ' 5 2 + 0,08664 ⋅ T r ' 3 2 - 0,42748 = 0

Resolvendo essa equação com algum software matemático vamos encontrar

T r ' = 0,787

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

a   T r ' = 0,727

b   T r ' = 0,787

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