Um tanque rígido e bem isolado, cujo volume inicial é 0,5 m³, encontra-se inicialmente evacuado. No tempo t = 0, ar da vizinhança a 1 bar, 21°C, começa a fluir para o interior do tanque. Um resistor elétrico transfere energia para o ar no tanque a uma taxa constante de 100 W durante 500s e, nesse instante, a pressão no tanque é 1 bar. Qual é a temperatura do ar no tanque, em °C, no instante final?

Passo 1

Faaaala pessoal! Vamos fazer essa questão de análise de volumes de controle??

Começando organizando algumas hipóteses para prosseguirmos com os cálculos:

1 – Para o volume de controle sendo o tanque por completo, como o mesmo é isolado temos Q ˙ V C = 0 e temos que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis.

2 – O ar será tratado como gás ideal.

3 – A variação de energia interna do resistor é nula.

Vamos organizar também os dados fornecidos!

V = 0,5   m ³ p i = 1   b a r = 100   k P a T i = 21 ° C = 294   K p 2 = p 1 W ˙ V C = - 100   W ∆ t = 500 s

Agora vamos para os cálculos!

Passo 2

Vamos começar fazendo o balanço de massa! Como o volume de controle tem apenas 1 entrada e nenhuma saída, temos:

d m V C d t = m ˙ i

Fazemos agora o balanço energético, lembrando sempre da hipótese 1!!

d U V C d t = - W ˙ V C + m ˙ i ∙ h i

Ou seja:

d U V C d t = - W ˙ V C + d m V C d t ∙ h i

Integrando de ambos lados temos:

∆ U V C = - W V C ∙ ∆ t + h i ∙ ∆ m V C

Ou melhor:

∆ U V C = - W V C ∙ ∆ t + h i ∙ ( m 2 - m 1 )

Como o processo ocorre lentamente, ou seja, em regime permanente, o estado do ar no tanque em qualquer momento é unifome! Então U V C = m ∙ u !

m 2 u 2 - m 1 u 1 = - W V C ∙ ∆ t + h i ∙ m 2 - m 1

Rearrumando um pouco para isolar o u 2 , temos:

u 2 = - W V C ∙ ∆ t m 2 + h i

Mas quem é essa massa final m 2 ?

Passo 3

Da hipótese 2, temos a lei dos gases ideais:

m = p V R T

Então, para o estado 2:

m 2 = p 2 V R T 2

Subsituindo na equação de u 2 :

u 2 = - W V C ∙ R ∙ T 2 ∙ ∆ t p 2 V + h i

O h i conseguimos achar o valor na tabela A-22 para o ar como gás ideal à 1 bar e temperatura de 294K. Chegamos então em h i = 294,17   k J / k g .

Agora, vamos para a parte legal! Substituir os valores:

u 2 = - 100 ∙ 8,314 28,97 ∙ T 2 ∙ 500 100 ∙ 0,5 + 294,17

Isolando T 2 , temos:

T 2 = 50 ∙ 294,17 - u 2 14349,33

Há jeitos de achar T 2 através de métodos computacionais de iteração da tabela A-22. Mas a parte mais importante da questão já fizemos aqui! Então vamos para a próxima

Resposta

T 2 = 50 ∙ 294,17 - u 2 14349,33

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