Um tanque de 1m³ inicialmente contém ar a 300 kPa, 300 K. Lentamente o ar escapa do tanque até que a pressão baixe para 100 kPa. O ar restante no interior do tanque sofre um processo descrito por p . v 1,2 = c o n s t a n t e . Para um volume de controle que englobe o tanque, determine a transferência de calor em kJ. Admita comportamento de gás ideal com calores específicos constantes.

Passo 1

Faaaala pessoal! Vamos fazer essa questão de análise de volumes de controle??

Começando organizando algumas hipóteses para prosseguirmos com os cálculos:

1 – Para o volume de controle, como o tanque é rígido temos W ˙ V C = 0 e temos que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis.

2 – O ar será tratado como gás ideal.

3 – O ar restante no tanque passa por um processo que segue a relação p . v 1,2 = c o n s t a n t e .

Vamos organizar também os dados fornecidos!

V = 1   m ³ p 1 = 300   k P a T 1 = 300   K p 2 = 100   k P a

Agora vamos para os cálculos!

Passo 2

Vamos começar fazendo o balanço de massa! Como o volume de controle tem apenas 1 saída e nenhuma entrada, temos:

d m V C d t = - m e ˙

Fazemos agora o balanço energético, lembrando sempre da hipótese 1!!

d U V C d t = Q ˙ V C - m ˙ e ∙ h e

Como o processo ocorre lentamente, ou seja, em regime permanente, o estado do ar no tanque em qualquer momento é unifome! Então U V C = m ∙ u , e como o ar é tratado como um gas ideal h e = u + R . T . Substituindo ambas equação no balanço energético, vamos ter:

m ∙ d u d t + u ∙ d m d t = Q ˙ V C + d m d t ∙ ( u + R . T )

Rearrumando um pouco, temos:

Q ˙ V C ∙ d t = m ∙ d u - R . T ∙ d m

Você lembra qual a relação da energia interna específica com a temperatura? Se não lembra não tem problema, é essa aqui:

d u = c v ∙ d T

Então substituindo na equação anterior, ficamos com:

Q ˙ V C ∙ d t = m ∙ c v ∙ d T - R . T ∙ d m

Beleza!!! Mas não temos nenhuma informação sobre a massa m né? E agora?

Passo 3

Lembra que

m = V v

Ah sim! Mas também não sabemos esse volume específico né? Sabemos sim! O processo segue a relação p . v 1,2 = c o n s t a n t e . Então ficamos assim:

m = p 1 1,2 c o n s t a n t e ∙ V

Vamos derivar de ambos os lados:

d m = V c o n s t a n t e ∙ 1 1,2 ∙ p 1 1,2 - 1 ∙ d p

Show de bola!

Pela lei dos gases ideais temos:

R . T = p . V m

Mas o m nós acabamos de achar!!!

R . T = c o n s t a n t e . p . V p 1 1,2 . V

R . T = c o n s t a n t e . p 1 - 1 1,2

T = c o n s t a n t e R . p 1 - 1 1,2

Derivando em ambos os lados, vamos ter:

d T = c o n s t a n t e R ∙ 1 - 1 2 ∙ p - 1 1,2 ∙ d p

Que beleza! Agora podemos substituir tudo na equação do balanço energético!!!!

Passo 4

Vamos agora para o último passo! Temos a seguinte equação após o balanço energético:

Q ˙ V C ∙ d t = m ∙ c v ∙ d T - R . T ∙ d m

No passo anterior, achamos m, dT, T e dm!!! Vamos substituí-los!

Q ˙ V C ∙ d t = p 1 1,2 c o n s t a n t e ∙ V ∙ c v ∙ c o n s t a n t e R ∙ 1 - 1 2 ∙ p - 1 1,2 ∙ d p - R . c o n s t a n t e R . p 1 - 1 1,2 ∙ V c o n s t a n t e ∙ 1 1,2 ∙ p 1 1,2 - 1 ∙ d p

Ficou grande e feio né?

Vamos dar uma simplificada nas coisas:

Q ˙ V C ∙ d t = V R ∙ c v ∙ 1 - 1 2 ∙ d p - [ 1 1,2 V ∙ d p ]

Beeeeem melhor né? Ainda conseguimos arrumar mais um pouco colocando V e dp em evidência!

Q ˙ V C ∙ d t = c v R ∙ 1 - 1 2 - 1 1,2 V ∙ d p

Perfeito né? Agora já sabe! Basta integrar dos 2 lados:

Q V C = c v R ∙ 1 - 1 2 - 1 1,2 V ∙ ( p 2 - p 1 )

Daqui só não temos o c v , então vamos lá na tabela A-20 olhar o c v do ar como gas ideal à 300K:

c v = 0,718   k J / k g . K

Finalmente, só substituir os dados!

Q V C = 0,718 8,314 28,97 ∙ 1 - 1 2 - 1 1,2 1 ∙ ( 100 - 300 )

Q V C = 83,4   k J

Por aqui é só isso! Tranquilo né? Vamos para a próxima!

Resposta

Q V C = 83,4   k J

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