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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 28

O tempo, t , para drenagem de óleo para fora de um recipiente de calibração de viscosidade depende da viscosidade, μ , e massa específica, ρ , do fluido, do diâmetro do orifício, d , e da aceleração da gravidade, g . Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de t em relação às outras variáveis. Expresse t na forma mais simples possível.

Passo 1

Que enunciado fofo! Ele quer o t da forma mais simples possível!

Para fazer isso a gente começa fazendo a análise dimensional usando o Teorema Pi de Buckingham!

Começando separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

t μ ρ d g

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

t μ ρ d g

t M L t M L 3 L L t 2

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Vamos montar as equações:

Π 1 = t * ρ a * d b * g c

t * M L 3 a * L b * L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a = 0

L : - 3 a + b + c = 0

t : 1 - 2 c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 0 b = - 1 2 c = 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = t * ρ a * d b * g c

Π 1 = t * ρ 0 * d - 1 2 * g 1 2

Π 1 = t g d

Show!

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * d b * g c

M L t * M L 3 a * L b * L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M : 1 +   a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - 2 c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 3 2 c = - 1 2

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 2 = μ * ρ a * d b * g c

Π 2 = μ * ρ - 1 * d - 3 2 * g - 1 2

Π 2 = μ ρ d 3 g

Show!

Passo 6

Agora vamos expressar a função de t :

t g d = f μ ρ d 3 g

t = d g f μ ρ d 3 g

Fechamos com estilo!

Resposta

t = d g f μ ρ d 3 g

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