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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 128

Usando as Eqs. 17–4, 17–13 e 17–14, verifique que, para o escoamento permanente dos gases ideais, d T 0 T = d A A +   1 -   M a 2 ⋅ d V V . Explique o efeito do aquecimento e as variações de área sobre a velocidade de um gás ideal no escoamento permanente, considerando ( a ) um escoamento subsônico e ( b )   um escoamento supersônico.

Passo 1

Pois bem, para explicar o efeito do aquecimento e as variações de área sobre a velocidade de um gás ideal no escoamento permanente vamos começar com a seguinte relação

V 2 2 = c p ⋅ T 0 - T     i

Diferenciando i vamos encontrar

V ⋅ d V = c p ⋅ d T 0 - d T           i i

Além disso temos que

d ρ ρ + d A A + d V V = 0     e     d P ρ + V ⋅ d V = 0   i i i   e   i v

Diferenciando a relação dos gases ideais P = ρ ⋅ R ⋅ T teremos

d P P = d ρ ρ + d T T = 0   v

Da relação da velocidade do som temos

c 2 = k R T = k - 1 ⋅ c p ⋅ T = k P ρ   v i

Combinando as equações i i i   e   v

d P P - d T T + d A A + d V V = 0   v i i

Combinando, agora, i v   e   v i

d P ρ = d P k P / c 2 = - V ⋅ d V

Podemos ainda escrever a equação acima como sendo

d P P = - k c 2 ⋅ V d V = - k ⋅ V 2 c 2 ⋅ d V V = - k M a 2 ⋅ d V V     v i i i

Prosseguindo com as relações entre as equações vamos combinar i i   e   v i obtendo

d T = d T 0 - V ⋅ d V c p

→   d T T = d T 0 T - V 2 c p ⋅ T ⋅ d V V → d T T = d T 0 T - V 2 c 2 k - 1 ⋅ d V V

→ d T T = d T 0 T - k - 1 ⋅ M a 2 ⋅ d V V   i x

Por fim, combinando v i i ,   v i i i   e   i x

- k - 1 ⋅ M a 2 ⋅ d V V - d T 0 T + k - 1 ⋅ M a 2 ⋅ d V V + d A A + d V V = 0

d T 0 T = d A A + - k ⋅ M a 2 + k - 1 ⋅ M a 2 + 1 ⋅ d V V

Então,

d T 0 T = d A A + 1 - M a 2 ⋅ d V V           x

Finalmente, para acabar com a análise das equações e podermos resolver o exercício vamos diferenciar a equação da energia de fluxo constante q = h 02 - h 01 = c p ⋅ T 01 - T 02 e, assim, obteremos

δ q = c p ⋅ d T 0   x i

Passo 2

Pois bem, agora ficou mais simples de resolver os itens pois quando M a   < 1 (fluxo subsônico), o fluido acelerará se a área convergir ( d A   < 0 ) ou o fluido for aquecido ( d T 0 >   0   o u   δ q >   0 ) . O fluido desacelerará se a área convergir ( d A   < 0 ) ou se o fluido for resfriado ( d T 0 < 0   o u   δ q < 0 ) .

Passo 3

Quando M a >   1 (fluxo supersônico), o fluido acelera se o diferencial de área diverge ( d A >   0 ) ou o fluido é resfriado ( d T 0 < 0   o u   δ q   < 0 ) . O fluido desacelerará se o diferencial de área convergir ( d A   < 0 )   ou se o fluido for aquecido ( d T 0 >   0   o u   δ q >   0 ) .

Resposta

A Quando M a   < 1 (fluxo subsônico), o fluido acelerará se a área convergir ( d A   < 0 ) ou o fluido for aquecido ( d T 0 >   0   o u   δ q >   0 ) . O fluido desacelerará se a área convergir ( d A   < 0 ) ou se o fluido for resfriado ( d T 0 < 0   o u   δ q < 0 ) .

b Quando M a >   1 (fluxo supersônico), o fluido acelera se o diferencial de área diverge ( d A >   0 ) ou o fluido é resfriado ( d T 0 < 0   o u   δ q   < 0 ) . O fluido desacelerará se o diferencial de área convergir ( d A   < 0 )   ou se o fluido for aquecido ( d T 0 >   0   o u   δ q >   0 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro