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Enunciado

Termodinâmica - Moran e Shapiro - Princípios de Termodinâmica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 40

Use equações de Lagrange para deduzir as equações de movimento de cada um dos sistemas mostrados nas Figuras 6.17 a 6.21.

Passo 1

Falaaa meus amigos! Como vocês estão? Vamos pra mais uma questãozinha desse assunto?

Inicialmente, se localizem na figura 6.18, a segunda a ser considerada.

Usaremos x 1 ,   x 2 ,   θ como coordenadas generalizadas.

Da fórmula da energia cinética, nós encontramos o seguinte:

T = 1 2 J 0 θ ˙ + 1 2 ( 2 m ) x 1 2 ˙ + 1 2 m x 2 2 ˙

Isso, sabendo que J 0 = 1 3 2 m l 2 = 2 3 m l 2 .

Da energia potencial, nós temos:

V = 1 2 2 k x 1 - l 4 θ 2 + 1 2 k x 2 - x 1 2 + 1 2 3 k θ l 2

Do quociente de Rayleigh, nós temos:

R = 1 2 c x 1 ˙ - l 4 θ ˙ 2

Isso com Q θ = M t t ,   Q 1 = F 1 t ,   Q 2 = F 2 ( t )

Passo 2

Dito isso, já podemos montar as equações para cada coordenada, assim como nas questões anteriores:

δ T δ θ ˙ = J 0 θ ˙             δ T δ x 1 ˙ = 2 m x 1 ˙               δ T δ x 2 ˙ = m x 2 ˙    

  d d t δ T δ θ ˙ = J 0 θ ¨               d d t δ T δ x i ˙ = 2 m x ¨ 1                 d d t δ T δ x 2 ˙ = m x ¨ 2          

  δ T δ θ = 0 ;         δ T δ x i ˙ = 0 ; i = 1,2

Para o coeficiente de Rayleigh e a energia potencial, temos:

δ R δ θ ˙ = - c l 4 x 1 ˙ - θ ˙ l 4 ;           δ R δ x i ˙ = c x 1 ˙ - θ ˙ l 4 ;             δ R δ x 2 ˙ = 0 ;

δ V δ θ = 25 8 k l 2 θ - 1 2 k l x 1

δ V δ x 1 = - 1 2 k l θ + 3 k x 1 - k x 2

δ V δ x 2 = - k x 1 + k x 2

Passo 3

Finalmente podemos montar as equações de movimento a partir das equações de Lagrange:

2 3 m l 2 θ ¨ + 1 16 c l 2 θ ˙ - 1 4 c l x 1 ˙ + 25 8 k l 2 θ - 1 2 k l x 1 = M t ( t )

- 2 m x ¨ 1 - 1 4 c l θ ˙ + c x 1 ˙ - 1 2 k l θ + 3 k x 1 - k x 2 = F 1 ( t )

m x ¨ 2 - k x 1 + k x 2 = F 2 ( t )

Resposta

2 3 m l 2 θ ¨ + 1 16 c l 2 θ ˙ - 1 4 c l x 1 ˙ + 25 8 k l 2 θ - 1 2 k l x 1 = M t ( t )

- 2 m x ¨ 1 - 1 4 c l θ ˙ + c x 1 ˙ - 1 2 k l θ + 3 k x 1 - k x 2 = F 1 ( t )

m x ¨ 2 - k x 1 + k x 2 = F 2 ( t )

Ver Outros Exercícios desse livro