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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 153

Vapor de água saturado a 1,75   M P a , com 10 % de umidade e velocidade desprezível entra em um bocal convergente-divergente e sai a 1,2   M P a . Considerando uma área de saída de bocal de 25   c m ² , determine a área da garganta, a velocidade de saída, a vazão mássica e o número de Mach de saída, considerando que o bocal (a) é isentrópico e (b) tem uma eficiência de 92 % .

Passo 1

Fala aí! Vamos fazer uma questão para fortalecer nossos conhecimentos? Ela ta pedindo um monte de coisas, mas relaxa que a gente consegue!

Bom, vamos começar pelo começo, beleza? Usando os critérios da letra a, onde o enunciado diz que é isentrópico, podemos achar a velocidade de saída, fazendo um balanço de massa, da seguinte forma:

h 1 + V 1 2 2 = h 2 + V 2 2 2

0 = h 2 - h 1 +   V 2 2 - V 1 2 2

V 2 = 2   .   h 1 - h 2

Show! Só que precisamos encontrar as duas entalpias que faltam… Vamos nessa então!

h 1 = h f + x 1   .   h f g @ 1,75   M P a s 1 = s f + x 1   .   s f g @ 1,75   M P a

h 1 = 878,16 + 0,90   .   1917,1 s 1 = 2,3844 + 0,90   .   4,0033

h 1 = 2603,5   k J / k g s 1 = 5,9874   k J / k g   .   K

Se sabemos que na saída P 2 = 1,2   M P a e que s 1 = s 2 , podemos encontrar há segunda entalpia que está faltando, belezinha?

h 2 = h f + x 2   .   h f g

Opa! vamos encontrar esse x 2 , aí com a ajuda do s 2 !

s 2 = s f + x 2   .   s f g

x 2 = s 2 - s f s f g

x 2 = 5,9874 - 2,2159 4,3058

x 2 = 0,8759

Show! Vamos continuar então:

h 2 = h f + x 2   .   h f g

h 2 = 798,33 + 0,8759   .   1985,4

h 2 = 2537,4   k J / k g

Aeeee! Partiu encontrar a velocidade então:

V 2 = 2   .   2603,5 - 2537,4   .   1000   m ² / s ² 1   k J / k g f a t o r   d e   c o n v e r s ã o

V 2 = 363,7   m / s

Passo 2

Vamos encontrar a vazão mássica agora!

m = 1 ν 2   .   A 2   .   V 2

Precisamos desse ν 2 ali, vamos achá-lo:

ν 2 = ν f + x 2   .   ν f g

ν 2 = 0,001138   + 0,8759   .   ( 0,16326 - 0,001138 )

ν 2 = 0,14314   m ³ / k g

Agora sim! Continuando…

m = 1 ν 2   .   A 2   .   V 2

m = 1 0,14314   .   25   .   10 - 4   .   363,7

m = 6,35   k g / s

Show!

Passo 3

Agora vamos encontrar o número de Mach, com essa equação aqui:

M a 2 = V 2 c 2

Opa, o V 2 a gente já achou! Mas o c 2 deu ruim… Temos que encontrar, vamos nessa!

c = ∂ P ∂ r s 1 / 2

c = Δ P Δ 1 / ν s 1 / 2

Esse Δ ν aí de cima vai ser a diferença entre nosso ν , uma pressão abaixo e uma pressão acima que o nosso P 2 , ou seja, considerando o mesmo s 2 e com as pressões 1,1   M P a e 1,3   M P a vamos ter eles como: 0,1547   m ³ / k g e 0,1333   m ³ / k g … Tranquilo?

Vamos ficar com:

c 2 = 1300 - 1100 1 0,1333 - 1 0,1547   .   1000   m ² / s ² 1   k P a   .   m ³

c 2 = 438,9   m / s

Agora simmm! Vamos achar nosso número de Mach:

M a 2 = V 2 c 2

M a 2 = 363,7 438,9

M a 2 = 0,829

Passo 4

Agora só falta a área da garganta pra gente partir para a letra b, beleza? Vamos lá!

A t = m   .   ν t V t

Ops! Agora o bicho pegou! Quem são esses ν t e V t ? São as quantidades totais, a gente consegue achar, pode ficar tranquilo!

Se estamos trabalhando com um quantidade de vapor saturado, então:

P t = 0,576   .   P 01

P t = 0,576   .   1,75

P t = 1,008   M P a

E com essa pressão a gente vai ter que:

s t = s 1 = 5,9874   k J / k g   .   K

h t = 2507,7   k J / k g

ν t = 0,1672   m ³ / k g

Agora vamos colocar isso na equação de V t :

V t = 2   .   h 1 - h t

V t = 2   .   2603,5 - 2507,7   .   1000   m ² / s ² 1   k J / k g

V t = 437,7   m / s

Aeee!!! Agora é só jogar na fórmula e:

A t = m   .   ν t V t

A t = 6,35   .   0,1672 437,7

A t = 24,26   .   10 - 4   m ²

Conseguimos! Arrasamos!

Passo 5

Bom agora vamos usar o critérios da letra b, onde o enunciado diz que é a nossa eficiência é η = 0,92 , podemos achar a velocidade de saída, fazendo um balanço de massa, da seguinte forma:

h 1 + V 1 2 2 = h 2 + V 2 2 2

0 = h 2 - h 1 +   V 2 2 - V 1 2 2

V 2 = 2   .   h 1 - h 2

Show! Só que precisamos encontrar as duas entalpias que faltam… Vamos nessa então!

h 1 = h f + x 1   .   h f g @ 1,75   M P a s 1 = s f + x 1   .   s f g @ 1,75   M P a

h 1 = 878,16 + 0,90   .   1917,1 s 1 = 2,3844 + 0,90   .   4,0033

h 1 = 2603,5   k J / k g s 1 = 5,9874   k J / k g   .   K

Se sabemos que na saída P 2 = 1,2   M P a e que s 1 = s 2 , podemos encontrar há segunda entalpia que está faltando, belezinha?

h 2 s = h f + x 2   .   h f g

Opa! vamos encontrar esse x 2 , aí com a ajuda do s 2 !

s 2 s = s f + x 2   .   s f g

x 2 = s 2 - s f s f g

x 2 = 5,9874 - 2,2159 4,3058

x 2 = 0,8759

Show! Vamos continuar então:

h 2 s = h f + x 2   .   h f g

h 2 s = 798,33 + 0,8759   .   1985,4

h 2 s = 2537,4   k J / k g

Agora usando a eficiência, vamos ter que:

η N = h 1 - h 2 h 1 - h 2 s

h 2 = h 1 + η N   .   h 1 - h 2 s

h 2 = 2603,5 + 0,92   .   2603,5 - 2537,4

h 2 = 2542,7   k J / k g

Aeeee! Partiu encontrar a velocidade então:

V 2 = 2   .   2603,5 - 2542,7   .   1000   m ² / s ² 1   k J / k g f a t o r   d e   c o n v e r s ã o

V 2 = 348,9   m / s

Passo 6

Vamos encontrar a vazão mássica agora!

m = 1 ν 2   .   A 2   .   V 2

Precisamos desse ν 2 ali, vamos achá-lo! Usando a nossa P 2 = 1,2   M P a e o h 2 = 2542,7 , vamos ter o seguinte:

ν 2 = ν f + x 2   .   ν f g

E esse x 2 será:

h 2 = h f + x 2   .   h f g

x 2 = h 2 - h f h f g

x 2 = 2542,7 - 798,33 1985,4

x 2 = 0,8786

Aí colocamos na equação e:

ν 2 = 0,001138   + 0,8786   .   ( 0,16326 - 0,001138 )

ν 2 = 0,1436   m ³ / k g

Agora sim! Continuando…

m = 1 ν 2   .   A 2   .   V 2

m = 1 0,1436   .   25   .   10 - 4   .   363,7

m = 6,07   k g / s

Show!

Passo 7

Agora vamos encontrar o número de Mach, com essa equação aqui:

M a 2 = V 2 c 2

Opa, o V 2 a gente já achou! Mas o c 2 deu ruim… Temos que encontrar, vamos nessa!

c = ∂ P ∂ r s 1 / 2

c = Δ P Δ 1 / ν s 1 / 2

Esse Δ ν aí de cima vai ser a diferença entre nosso ν , uma pressão abaixo e uma pressão acima que o nosso P 2 , ou seja, considerando o mesmo s 2 e com as pressões 1,1   M P a e 1,3   M P a vamos ter eles como: 0,1551   m ³ / k g e 0,1337   m ³ / k g … Tranquilo?

Vamos ficar com:

c 2 = 1300 - 1100 1 0,1337 - 1 0,1551   .   1000   m ² / s ² 1   k P a   .   m ³

c 2 = 439,7   m / s

Agora simmm! Vamos achar nosso número de Mach:

M a 2 = V 2 c 2

M a 2 = 348,9 439,7

M a 2 = 0,793

Passo 8

Agora só falta a área da garganta pra gente finalizar, beleza? Vamos lá!

A t = m   .   ν t V t

Ops! Agora o bicho pegou! Quem são esses ν t e V t ? São as quantidades totais, a gente consegue achar, pode ficar tranquilo!

Se estamos trabalhando com um quantidade de vapor saturado, então:

P t = 0,576   .   P 01

P t = 0,576   .   1,75

P t = 1,008   M P a

E com essa pressão a gente vai ter que:

s t = s 1 = 5,9874   k J / k g   .   K

h t s = 2507,7   k J / k g

Vamos encontrar o nosso h t , usando a nossa eficiência:

h t = h 1 + η N   .   h 1 - h t s

h t = 2603,5 + 0,92   .   2603,5 - 2507,7

h t = 2515,4   k J / k g

E com esses dados vamos ter que:

ν t = 0,1679   m ³ / k g

Agora vamos colocar isso na equação de V t :

V t = 2   .   h 1 - h t

V t = 2   .   2603,5 - 2515,4   .   1000   m ² / s ² 1   k J / k g

V t = 419,9   m / s

Aeee!!! Agora é só jogar na fórmula e:

A t = m   .   ν t V t

A t = 6,07   .   0,1672 419,9

A t = 24,30   .   10 - 4   m ²

Conseguimos! Viu só como a mudança na eficiência nos dá valores diferentes?!

Arrasamos muito!!

Resposta

  1. V 2 = 363,7   m / s m = 6,35   k g / s M a 2 = 0,829 A t = 24,26   .   10 - 4   m ²

  2. V 2 = 348,9   m / s m = 6,07   k g / s M a 2 = 0,793 A t = 24,30   .   10 - 4   m ²
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