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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 198

A velocidade de um líquido escoando em um tubo circular de raio R varia de zero (quando medida na parede do tubo) a um valor máximo (quando verificada no centro do tubo). A distribuição de velocidade no tubo pode ser representada como V ( r ) , onde r   é a distância radial do centro do tubo. Baseado na definição de fluxo de massa, obtenha uma expressão para a velocidade média, considerando V ( r ) ,   R e   r .

Passo 1

A figura abaixo mostra a forma como a velocidade se distribui em uma tubulação:

Sabemos que um escoamento em tubulação é um fenômeno em regime permanente onde a massa se conserva. Então podemos aplicar uma variação da equação 5.14

m ˙ = ∫ S C ρ V d A

A vazão mássica também pode ser expressa em função da velocidade média:

m ˙ = ρ V m e d A

Igualando:

ρ V m e d A = ∫ A ρ V d A

Como nosso objetivo é a velocidade média, vamos isolá-la:

V m e d = 1 A ∫ A V d A

A área do tubo e sua deriva são:

A = π R 2

d A = 2 π r

Aplicando:

V m e d = 1 π R 2 ∫ A V ⋅ 2 π d r

Então, a velocidade média é dada por:

V m e d = 2 R 2 ∫ A V ⋅ d r

Resposta

V m e d = 2 R 2 ∫ A V ⋅ d r

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