Equação da Esfera

A equação da esfera é muito semelhante com a equação da circunferência. A equação da esfera tem 3 dimensões, e sua fórmula é:

$${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=r^2$$

Lembrando que $x_0,y_0$ e $z_0$ são as coordenadas do centro da esfera que vão mudar dependendo da posição da esfera no conjunto de eixos ortogonais, que $x,y$e $z$ são variáveis da equação e que $r$ representa o raio da esfera.

Para que serve?

Na Geometria, a equação da esfera é utilizada para desenhar gráficos e resolver exercícios que envolvem pontos dados de uma esfera. Vamos fazer um exemplo para deixar tudo bem claro!

Determine a equação da esfera que possui centro $C=(2,-3,1)$ e raio 4.

Para resolver essa questão vamos reescrever a equação da esfera e substituir os dados do enunciado:

$${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=r^2$$

$${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-(-3)\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4^2$$

$${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4^2$$

Podemos deixar nesse formato reduzido, ou podemos escrever a equação geral da esfera, que seria calcular esses produtos notáveis, elevar 4 ao quadrado e passar tudo para o lado esquerdo da equação, logo:

$${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4^2$$

Expandindo:

$$x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-2=0$$