Superfície Esférica

O enunciado pede a equação da superfície que tenha e raio . E devemos encontrar a equação geral e a reduzida.

Pela teoria sabemos que a equação reduzida é da seguinte forma:

Sendo as coordenadas do centro da esfera, o raio da esfera.

Então, se temos que e raio :

A equação geral é da seguinte forma:

Que na verdade nada mais é que a equação reduzida desenvolvida, então desenvolvendo a equação reduzida que encontramos temos:

Já deu para pegar o jeito um pouco?! Mas, ainda temos mais exercícios hehe.. não deixe de fazê-los ;)

Já estamos aquecendo os motores!! O enunciado nos fornece uma equação e pede para verificarmos se ela é ou não a equação de uma superfície esférica. Para isso, vamos completar quadrado e ver se chegamos numa expressão coerente.

Bora começar!!

Vamos começar completando os quadrados:

Pronto chegamos numa expressão com o mesmo jeito da equação da teoria:

Agora que temos a equação, podemos retirar dela as coordenadas do centro e o raio. Assim, da expressão:

Temos que:

Prontinho!! Terminamos!! Uhuuu

Temos agora a equação de uma superfície esférica e queremos saber a posição relativa dos pontos e , ou seja, se os pontos são internos ou externos à esfera. Como vimos na teoria para verificar a posição entre ponto e reta devemos calcular a distância entre o ponto e o centro da esfera e comparar o valor dessa distância com o raio. Então, primeira coisa que teremos que fazer é achar as coordenadas do centro da esfera e seu raio.

Como a equação que nos foi dada está no formato de equação geral vamos completar quadrados para achar a equação reduzida e então verificarmos as coordenadas do centro e o raio.

Completando quadrados temos:

Com a equação acima conseguimos achar o que precisamos, logo:

Agora, o que temos que fazer é calcular a distância entre o ponto e o centro e comparar com o raio.

Para :

Como , então o ponto é externo à superfície .

Para :

Como , então o ponto é interno à superfície .

Para terminar!!

Para :

Como , então o ponto pertence à superfície .

Mais um exercícios se foi!!

O enunciado pede para obtermos as equações gerais dos planos que são:

• Tangentes à superfície esférica
• Paralelos ao plano .

Vamos começar olhando para a segunda informação que nos foi dada!! Como vimos na teoria sobre planos, se dois planos são paralelos significa que seus vetores normais também são paralelos e como foi dada a expressão geral do plano e essa expressão é do formato:

Sendo as coordenadas do vetor normal, então, a equação dos nossos planos que queremos encontrar será:

Falta, agora, determinarmos o valor de . Para isso, vamos usar a informação em relação à superfície esférica. Sabemos que é tangente aos planos que queremos encontrar e da teoria sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes devemos ter:

Então, temos que achar as coordenadas do centro e valor do raio para calcularmos a distância d ponto até o plano que queremos determinar. Para achar e vamos completar quadrados:

Portanto,

Sabendo que e que , vamos usar aquela fórmula, lembra, para calcular distância entre ponto e plano, essa aqui oh:

Substituindo os valores, temos:

Como são tangentes:

Então,

Chegamos então nas duas possibilidades de planos tangentes à e paralelos ao plano :

O enunciado nos fala que o plano que devemos determinar é tangente à superfície e que o ponto de tangência é . Uma forma de terminar um plano é saber o seu vetor normal e um ponto que pertença ao plano. O ponto já temos que é o ponto , o vetor normal podemos achar, pois se encontrarmos o centro da esfera e fizermos o vetor esse será o vetor normal ao plano .

Bora começar!!

Temos que achar primeiro as coordenadas do centro da esfera. Para isso,vamos completar quadrados, mais uma vez!! Hehe

Assim, temos:

Vamos encontrar o vetor :

Como é normal ao plano ,e ntão a equação do plano é:

Para encontrarmos o valor de vamos susbtiutir o ponto :

Então, a equação do nosso plano é:

Devemos determinar o valor de para que as superfícies dadas sejam tangentes vamos usar o que aprendemos na teoria. Bora colocar a teoria em prática!! ;)

Da teoria, sabemos que duas superfícies são tangentes, se considerando e :

Da teoria também conseguimos calcular a distância por meio da fórmula:

Então, para calcular essa distância precisamos de: . Vamos, então, encontrar esses valores.

Para , temos:

Para teremos que completar quadrado:

Já vamos aproveitar e calcular :

Agora, que temos todos os valores que precisamos podemos calcular a distância :

Susbtituindo na fórmula os valores:

Como queremos que os planos sejam tangentes temos ainda que :

Resolvendo:

Separando em dois casos:

Resolvendo

Resolvendo

Chegamos que para as superfícies e sejam tangentes devemos ter que:

Queremos determinar as equações simétricas da reta que possui as seguintes características:

• Perpendicular ao plano
• Contém um diâmetro da superfície

Bora começar!!!

Quando estudamos “Retas e Planos” vimos que se uma reta é perpendicular a um plano isso significa que o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor diretor da reta, logo, o possível vetor diretor da reta é:

Vetor diretor da reta:

Já sabemos o vetor diretor da reta que queremos determinar. Falta acharmos um ponto que pertença à reta.

Para encontrar o ponto que pertence à reta vamos usar a segunda dica: Contém um diâmetro da superfície. Com essa dica, podemos fazer o seguinte desenho:

Com o desenho percebe-se que o centro da esfera pertence à reta. Logo, se encontrarmos as coordenadas de temos tudo o que precisamos para definir nossa reta.

Completando quadrado, temos:

Portanto,

Com e :

Simplificando pra ficar bonitinho

Pronto!! Terminamos!!

Temos duas informações para encontrar: o valor de para que o plano seja tangente à esfera e determinar o ponto de tangência. Vamos começar determinando o valor de .

Sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes, precisamos respeitar a relação:

Para acharmos e que respeita a relação acima, temos, primeiro, que encontrar as coordenadas de e o raio . Para isso, vamos analisar a equação da esfera:

Temos, que:

Para calcular a distância vamos usar a fórmula:

Sendo que da expressão , temos:

Substiutindo temos:

Então,

Vamos fazer o passo a passo para:

Para achar os outros valores é o mesmo esquema ;)

Falta encontrarmos o ponto que é o ponto de tangência. Para achar temos que lembrar da seguinte figura:

Temos que pertence ao plano , sabemos também que como o plano e a esfera são tangentes, se acharmos duas retas que possuem o ponto essas duas retas serão perpendiculares à reta formada pelo vetor . Se são perpendiculares, podemos usar que:

Então, vamos encontrar dois pontos distintos de e com eles construiremos dois vetores que passam por e que são perpendiculares ao vetor Um ponto para pertencer à deve satisfazer:

Se escolhermos , o valor de . Temos, então nosso primeiro ponto . O segundo ponto pode ser , então . Temos, . Com esses dois pontos podemos construir os vetores:

O vetor é:

Vamos fazer os produtos internos:

Além disso temos que:

Obtemos um sistema:

Substituindo em , temos:

Subsituindo em :

Sendo

Por fim, sabendo que , substuindo em :

Para saber qual é o “correto”, como pertence à deve satisfazer:

Se , então:

Encontramos o ponto .

Ufa!! Terminamos!!