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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 5a

Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 3, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com a matriz que já conhecemos, nesse primeiro caso teremos,

3 - λ 0 8 - 1 - λ   x 1 x 2 = 0 0

Para λ = 3 ,

0 0 8 - 4   x 1 x 2 = 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

8 x 1 - 4 x 2 = 0

Botando x 1 em evidência,

x 1 =   1 2 x 2

Passo 2

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

1 2 x 2 x 2

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 3 é,

1 2 1

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para o autovalor para finalizarmos a questão.

Para λ = - 1 ,

4 0 8 0   x 1 x 2 = 0 0

Novamente iremos reescrever na forma de equação,

4 x 1 =   0 8 x 1 = 0

Chegamos então à conclusão que x 1 = 0 . Tendo esta informação, podemos reescrever o vetor x da seguinte forma,

0 x 2

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do auto valor λ = - 1 é,

0 1

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