Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 21
Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule
Passo 1
A questão nos dá a seguinte matriz:
Essta é uma matriz triangular, então os autovalores são:
Os autovalores e aparecem duas vezes então ambos têm multiplicidade algébrica igual a 2.
Passo 2
Vamos calcular os autovetores:
Para
Vamos pegar a terceira e quarta linha e somar na segunda linha:
Então os autovetores associados:
Como temos duas variáveis indepentes, podemos separar em dois autovetores:
As bases dos autovetores são:
Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a e é associado a dois autovetores, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 2.
Passo 3
Para
Vamos dividir tudo por :
Então os autovetores associados:
Como temos duas variáveis indepentes, podemos separar em dois autovetores:
As bases dos autovetores são:
Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a e é associado a dois autovetores, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 2.
Passo 4
A matriz é dada pela composição dos autovetores:
E a matriz diagonal é igual a diagonal de autovalores:
Resposta
A matriz é diagonalizável.