Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 12
12. Suponha que .
(a) Mostre que é hermitiana.
(b) Mostre que é unitariamente diagonalizável e tem autovalores imaginários puros.
Passo 1
(a) Bem... pra matriz ser hermitiana:
Vamos usar uma propriedade da Transposta conjugada:
Onde é um número complexo qualquer.
Passo 2
Vamos fazer assim:
Como,
Então...
Portanto, é hermitiana.
Passo 3
(b) Vamos usar as seguintes afirmações equivalentes:
- é unitariamente diagonalizável.
- é normal.
Bem.. pra ser normal, então:
E como,
Então:
Portanto é normal... E então, unitariamente diagonalizável.
Passo 4
Sabemos por teorema que os autovalores de uma matriz hermitiana são números reais.
Então se a gente pegar a matriz que é hermitiana, então:
E esse é real.
Subtituindo:
Então os autovalores de são
Lembra como faz divisão por número imaginário?? A gente multiplica pelo conjugado em cima e embaixo:
Poranto, não tem parte real. Então tem autovalores imaginários puros.
Resposta
(a)
(b)