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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 10

Nos Exercícios 9-12, mostre que A é unitária e encontre A - 1 .

10. A = 1 2 1 2 - 1 2 1 + i 1 2 1 + i

Passo 1

Usando o teorema, temos que se A é unitária, então os vetores coluna formam um conjunto ortonormal. Ou seja... Pra matriz ser unitária a norma de cada vetor tem que ser igual a um e o produto interno tem que ser igual a zero.

Separando os dois vetores coluna:

v 1 = 1 2 , - 1 2 1 + i

v 2 = 1 2 , 1 2 1 + i

Passo 2

Achando a norma de cada um:

v 1 = 1 2 1 2 ¯ + - 1 2 1 + i - 1 2 1 + i ¯

v 1 = 1 2 1 2 + - 1 2 1 + i - 1 2 1 - i

v 1 = 1

v 1 = 1

v 2 = 1 2 1 2 ¯ + 1 2 1 + i 1 2 1 + i ¯

v 2 = 1

v 2 = 1

As normas são iguais a um.

Passo 3

Agora fazendo o produto interno:

v 1 ⋅ v 2 = 1 2 1 2 ¯ + - 1 2 1 + i 1 2 1 + i ¯

v 1 ⋅ v 2 = 0

Então A é unitária.

Passo 4

Como A é unitária, então:

A - 1 = A *

Achando a transposta:

A T = 1 2 - 1 2 1 + i 1 2 1 2 1 + i

E a conjugada da transposta:

A * = 1 2 - 1 2 1 - i 1 2 1 2 1 - i

Então...

A - 1 = 1 2 - 1 2 1 - i 1 2 1 2 1 - i

Resposta

A - 1 = 1 2 - 1 2 1 - i 1 2 1 2 1 - i

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