Otimização

Olááá! Tudo certinho?

Do enunciado, vemos que nosso objetivo aqui é encontrar dois números desconhecidos que geram o menor resultado possível quando somados.

“O menor resultado possível” é a dica que o problema nos dá pra sacar que se trata de um problema de otimização!

Nosso primeiro passo nesses problemas sempre é organizar as informações que o enunciado tá passando! Então bora lá!

Vamos chamar os dois números desconhecidos de e , então, se o produto entre os dois resulta em , podemos dizer que:

Como queremos que a soma seja o menor possível, é dela que surge a função que vamos otimizar. Escrevendo uma função pra soma, temos:

Como resolvemos os problemas de otimização usando derivadas, queremos que nossa função dependa de só uma variável, pra isso, vamos reescrever a expressão do produto de um jeito que possamos substituir na função soma e tirar uma das variáveis.

Olha:

Que substituindo na função, resulta em:

Agora nossa função tá prontinha pra ser derivada!

Podemos reescrever a função usando a propriedade onde subimos ou descemos a potência na fração trocando o sinal do expoente:

Desse jeito, fica mais fácil usar a regra do peteleco pra derivar:

Mais uma vez com a propriedade das potências, temos:

Para encontrar os pontos críticos da função, que são nossos candidatos a mínimo da função, vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:

Temos então dois candidatos: e

Como o enunciado especifica que os números são inteiros e positivos, podemos descartar o .

Vamos testar pra ter certeza que de fato temos um ponto de mínimo. Pra isso, precisamos da segunda derivada da função.

Derivando mais uma vez, temos:

Testando quando , temos:

O critério do teste da segunda derivada é o seguinte:

Como encontramos um resultado positivo, é um ponto de mínimo, exatamente como queríamos!

Pra encerrar, precisamos encontrar também o valor de , já que a questão pede os dois números!

Podemos substituir lá na primeira expressão que escrevemos pro produto igual a :

Prontinho!

Beleza, a princípio temos um terreno com a seguinte cara:

O que o problema quer que a gente descubra, são os valores de e de que fazem com que ele tenha a maior área possível. Então vamos descobrir quem é a função que descreve a área e encontrar os valores de e de que fazem seu valor ser máximo, pra isso usaremos os conceitos de derivada que estamos estudando.

O enunciado nos afirma que o cercado em preto é de . Ou seja, o seu perímetro, que é a soma de todos os lado, é:

Podemos simplificar essa expressão, dividindo tudo por . Isso vai facilitar os nossos cálculos mais à frente.

Agora vamos falar sobre a área desse terreno. Ela é a multiplicação de um lado pelo outro, certo? Então

Mas derivar uma função com duas variáveis não vai rolar por agora, então podemos isolar o lá na expressão do perímetro, ficando com

Agora é só substituir isso na expressão da área:

Prontinho, achamos a função que descreve a área desse terreno.

Para encontrarmos a maior área possível, vamos procurar o valor máximo da função área que a gente acabou de encontrar no passo anterior. Pra isso precisamos fazer a primeira derivada dela e depois igualar a zero. Lembra que pra acharmos os valores de máximos e mínimos nós fazemos a primeira derivada igual a zero? Então...isso que faremos agora.

Mãos a obra!

Achamos a derivada. Agora vamos igualar a zero e encontrar o valor de nesse ponto....

Para ter certeza que o ponto que encontramos é de máximo mesmo, podemos fazer o teste da segunda derivada.

Pra isso, vamos derivar mais uma vez a função área:

O critério do teste diz que:

Como a segunda derivada que encontramos é negativa, temos um ponto de máximo!

Agora vamos atrás do valor de .

Como vimos antes

Substituindo :

Ou seja, esse nosso retângulo será na verdade um quadrado com lado , tendo a maior área possível de ser cercada com a quantidade de arame disponível.

E aí, tudo beleza?

Dá uma olhadinha no desenho aqui pra entender melhor:

Ali temos o campo, de lados sendo que em um dos lados medindo temos a margem do rio.

Queremos saber quais sãos os valores de , nessas condições, para que o campo tenha área máxima. Vem comigo!

A questão nos disse que o fazendeiro tem de cerca, e a quantidade de cerca de um campo retangular é dado pelo perímetro (soma dos lados) dele.

Nesse caso vamos somar os lados com exceção do lado à margem do rio. Temos:

Como temos de cerca, nosso perímetro deverá ser:

Vamos colocar e função de :

Ok, encontramos uma relação entre os dois lados do campo. Guarda isso por enquanto!

A gente quer encontrar a área máxima, sendo que área do campo é dada por:

Mas, a gente achou ali em cima que:

Bora jogar isso no lugar de de na expressão da área, então?

Fazendo a distributiva:

Encontramos a expressão da área em função de 😊

Como queremos encontrar a maior área possível, vamos maximizar essa função:

Pra achar o ponto máximo dela, vamos encontrar onde a derivada dá zero. Vamos derivar usando a regra do Tombo:

Ótimo! Agora vamos ver onde essa derivada zera:

Show! Achamos o valor de que faz com que a área seja máxima!

Importante conferir se o ponto que encontramos é mesmo um ponto de máximo, pra isso vamos derivar a função área mais uma vez:

O teste da segunda derivada nos diz o seguinte:

Como encontramos uma segunda derivada negativa, o ponto é um ponto de máximo!

Pra achar o valor da dimensão é mais fácil, porque a gente já viu que:

E como , temos:

Show de bola!

Então para que tenha área máxima, nessas condições, o campo deve medir por 😉

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Bom, comecei desenhando esse caso aí:

A área do retângulo, que é o formato do campo, vai ser dada por:

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Temos como limitante aquele preço de . Bom, se custa a cerca do lado paralelo e a dos outros dois, posso criar um custo, estando e em metros, dado por essa equação:

Repara que são dois lados de comprimento e um lado . Como ele diz que esse custo é fixo em , ficamos assim:

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Vamos isolar o na nossa expressão do custo:

Juntando a última equação à da área, temos:

Agora derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Se eu procuro o ponto crítico da área, ou seja, a maior possível, devo derivar essa função:

Então, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos, que são nossos candidatos a máximo:

Analisamos os pontos críticos encontrados para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Como a derivada é fácil de calcular, é melhor derivar de novo e aplicar o teste da segunda derivada.

Como a segunda derivada é negativa, esse é um ponto de máximo.

Obs.: Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor). Mas como não há outros pontos críticos a calcular, então, próximo passo!

Pegamos o ponto crítico obtido e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

Olhando para função área:

Vemos que o menor valor para é zero, uma vez que é uma medida. O maior é .

Para zero, a área é zero e inútil pro que queremos.

Para :

O que também não é aplicável. Dessa maneira é um ponto de máximo global, onde:

Eu sei que ficou feio, mas esse é nosso resultado.

E aí, tudo bem?

Já que a base é quadrada, queremos uma caixa mais ou menos assim:

O enunciado também nos deu que estão disponíveis de material para fazer essa caixa.

A nossa restrição então é que a área total dela é 1200.

Vamos colocar em linguagem matemática...

A área total dessa caixa é dada pela soma das áreas de cada pedacinho.

Temos a base, que é:

E temos 4 laterais retangulares, medindo por , ou seja:

A área total vai ser a soma da área da base mais as áreas laterais. Então ela será dada por:

E como a área total é 1200, temos:

Ok, segura isso por enquanto!

Vamos lá, a gente quer encontrar o maior volume possível pra caixa, dentro da condição que a gente viu ali em cima.

O volume da caixa (que é um paralelepípedo) é calculado assim:

Vamos colocar isso em função de uma variável só usando a condição que achamos ali em cima.

A gente pode isolar o nessa expressão aqui pra deixar em função de :

Vamos substituir na fórmula do volume agora:

Simplificando o :

Beleza, agora que temos a função a ser maximizada em termos de uma variável só. Podemos partir para a derivada:

Agora, vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

Como estamos falando de medidas, ficamos só com o valor positivo .

Ok, agora é só acharmos o valor de que acompanha esse e depois calcular o volume!

E então o volume máximo possível é:

Alternativa (a) 😊

Vamos pensar no nosso retângulo, o enunciado nos mostra que ele é assim ó

O enunciado nos disse que ele vai recortar quadrados nos quatro cantos, então teremos o seguinte:

Vamos chamar os lados dos quadrados que serão cortados de , com isso, as medidas na folha são:

O volume dessa caixa, será:

Se você for observar bonitinho aquele desenho, vai ver que a altura vale , certo? A largura dela vale e o comprimento vale , então agora é substituir isso aí na nossa fórmula do volume.

Resolvendo as multiplicações, teremos:

Como ele pediu o maior volume possível da caixa, teremos que achar o valor máximo da função volume.

Para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo, vamos fazer a primeira derivada e igualar ela a zero! Grava isso...máximo e mínimo, primeira derivada igual a zero

Derivando, teremos:

Observa que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, certo? Então

Observa que deixei todas as constantes de fora da derivada.

Agora é só derivar tudo aí. Vamos lembrar a derivada de polinômio?

Então

Agora vamos igualar isso a zero e encontrar as raízes

Resolvemos essa equação do segundo grau pra ver onde que ela vale zero. Primeiro vem nosso delta

Detalhe, no nosso caso temos

Vamos jogar nas fórmulas, então. Primeiro calculando o delta

Ou seja, temos duas raízes:

Beleza, agora precisamos ver qual das duas nos dá o maior e o menor volume possível...

Vamos substituir esses valores na expressão que encontramos para o volume, essa aqui ó:

Primeiro o

Fazendo o

Esse obviamente, vamos descartar porque não faz sentido termos um volume negativo!

Sendo assim, o volume é proximo de ! Letra A!

Como queremos que a área útil seja máxima, temos um problema de otimização.

Vamos começar organizando os dados e montando um esquema!

É bem importante nessa questão entender bem a diferença entre a área total, que é de , e a área útil, que é o que queremos otimizar. Dá uma olhada:

Chamei as medidas da folha de e , já que não as conhecemos.

A área total, que inclui as margens, pode ser calculada da seguinte forma:

Se considerarmos só a parte laranja, temos a área útil, que é essa parte do meio que desconsidera as margens e é calculada por:

Subtraímos duas vezes a medida da margem lateral do e duas vezes a medida da margem da base do . Essa função que precisamos otimizar!

Obs.: Pra colocar as medidas das margens na fórmula eu converti de cm para m dividindo por 100.

Agora precisamos reescrever a função pra derivar, pra isso, podemos usar a relação da área total:

Substituindo na função de área útil:

Vamos fazer as multiplicações:

Enfim, nossa função tá prontinha pra ser derivada!

Pra derivar, vamos usar a regra do peteleco, então fica mais fácil ver a função como:

Derivando, temos:

Para encontrar os pontos críticos, que são nossos candidatos a máximo da função, precisamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:

Vamos multiplicar essa fração para encontrar valores inteiros e mais fáceis de seguirmos com as contas:

Temos, então:

Como estamos falando de medidas, não faz sentido ter valores negativos, então já podemos desconsiderar .

Temos então a área útil máxima quando !

Pra encerrar, vamos determinar o correspondente. Pra isso, vamos usar a relação da área total:

Prontinho!

Como queremos a área máxima possível, temos um problema de otimização!

Nosso primeiro passo sempre é organizar as informações que temos do enunciado e, sempre que possível, fazer um desenho.

Queremos a área máxima de um triângulo retângulo (onde um dos ângulos é ) com hipotenusa de . Podemos chamar os dois catetos desconhecidos de e , com isso temos:

Como queremos otimizar a área, vamos escrever uma função pra ela usando a fórmula de área dos triângulos:

Os problemas de otimização são resolvidos com derivada, pra isso precisamos reescrever a função área como uma função de uma só variável.

Como temos um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar os valores desconhecidos e :

Vamos substituir essa relação lá na função área que escrevemos:

Com a função escrita só em termos de já podemos derivar, mas pra facilitar um pouco, vamos reorganizar um pouco as coisas...

Primeiro, colocando o pra dentro da raiz, que pra isso fica ao quadrado:

Vamos lembrar também que toda raiz pode ser reescrita como , temos então:

Bora derivar!

Temos uma função dentro de outra, então precisamos usar a regra da cadeia: vamos derivar a função de fora, que no caso é o expoente , e multiplicar pela derivada da função de dentro :

Já aplicamos a regra do tombo fora, agora aplicamos dentro:

Podemos descer o segundo termo trocando o sinal do expoente:

Por fim, vamos reescrever a raiz:

Eu sei, ficou uma coisa horrível... Mas eu te prometo que daqui pra frente vai tudo ficar mais simples!

Para encontrar os pontos críticos, nossos candidatos a máximo da função, precisamos igualar a derivada a zero.

Trazendo nosso monstrinho, temos:

O some quando passamos pro outro lado, que vai continuar sendo zero

Independente do que temos no denominador, uma fração vai ser zero quando seu numerador for zero, então pra gente só vai importar:

Viu? Muito mais simples!

Dividindo a expressão por , temos:

Prontinho, achamos o valor de um dos lados do triângulo que gera a área máxima!