Campo Conservativo

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Essa palavra "conservativo" pode te relembrar algo que a gente estudou em física, que chamamos de força conservativa. Apesar desses conceitos estarem relacionados, hoje estaremos interessados em entender o que é o campo conservativo que estudamos em cálculo.

O campo conservativo possui aquela ideia de que cálculos realizados dentro desse campo, não dependem da trajetória do objeto, mas apenas dos pontos iniciais e finais. Em cálculo encontraremos um campo conservativo se existir uma única função que está de acordo com a condição:

Ou seja, para que um campo vetorial seja conservativo, é necessário que ele seja gradiente de uma função potencial . Vamos entender com um exemplo.

Verifique se o campo é conservativo.

Para resolver isso vamos precisar verificar se existe uma função onde o gradiente dessa função seja igual ao nosso campo. Sabemos que:

Ou seja, temos que verificar se:

Então:

Se existir uma função que satisfaça as três igualdades, então existe uma função potencial para esse campo, e podemos considerar esse um campo conservativo! Vamos verificar:

O termo aparece porque essa integral surgiu a partir de uma derivada parcial, então ao invés de aparecer uma constante na integral, aparece uma função do resto das variáveis, observe nos próximos passos:

E por último:

Show, terminamos de integrar, então analisando a gente já percebe que não é exatamente igual para todas as integrais, mas será que a gente não pode utilizar , e para achar nossa função potencial? Olha só:

aparece em todas as integrais, então podemos ter certeza que ele vai estar na nossa função potencial final:

Porém ainda temos o e o que aparecem apenas uma vez nas nossas funções, mas se pararmos para pensar, podemos afirmar que:

Já que está contido dentro de no caso da primeira integral, que está contido dentro de para a segunda integral e que está dentro de para o resultado da terceira integral. E a única coisa q está faltando para gente é a constante de integração. Logo:

Concluímos então que podemos considerar que esse campo é conservativo!

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