Função Potencial
Teoria
Introdução
Você já deve ter ouvido falar de um tal de campo conservativo na física. Ele tinha uma propriedade muito maneira: o trabalho independe da trajetória.
Esse negócio de campo conservativo não é da física, mas do cálculo. Um campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial , ou seja,
Oi?!
Calma jovem, vou te explicar tudo com bastante calma.
Função Potencial
Vamos considerar o seguinte campo . Se a gente quer saber se ele é conservativo, devemos tentar achar uma função escalar que satisfaça aquela equação ali de cima. Mas quem é aquele triangulo de cabeça pra baixo?!
Aquele cara se chama Nabla, e é um operador matemático! Se liga
Ou seja, quando fazemos , queremos isso aqui
No nosso exemplo:
Basicamente é isso! Vamos ter que calcular as três integrais e ver se realmente existe uma única função que satisfaça essas três igualdades, vem comigo!
O termo surgiu porque ao tomarmos a derivada parcial, consideramos tudo que era função de constante. Relaxa que você já vai entender isso aí, vamos continuar integrando
Por fim, calculando a terceira integral
Tá tranquilo! Agora que a gente calculou as três, vamos comparar os resultados e ver se existe uma função que se encaixe aí:
Vamos lá, percebe que se repete nas três? Então ele com certeza ta na função:
Agora vamos analisar o e o que aparecem apenas uma vez, será que a função pode conter os dois assim?
Isso de fato acontece! É só a gente imaginar que está dentro daquele , está naquele e está naquele . Concorda?
Por fim, a gente ainda tem que considerar uma constante K de integração, não se esqueça dela!! A função fica assim:
Mais ainda, como achamos uma função potencial, o campo é conservativo! Caso contrário, ou seja, caso não existisse uma função que se encaixasse nas três igualdades, o campo não seria conservativo!
Vou te deixar um passo a passo maroto aqui:
Passo 1: Integrar em relação a e obter a com o termo
Passo 2: Integrar em relação a e obter a com o termo B
Passo 3: Integrar em relação a e obter a com o termo
Passo 4: Comparar as três equações e descobrir uma única função que satisfaça todas igualdades.
OBS: Caso você não ache o campo não será conservativo!
O rotacional de um campo conservativo
Po, não tem um jeito mais fácil de ver se o campo é conservativo, não?
Por sorte, tem uma forma muito mais fácil (e claro, se não for, não vamos nem tentar achar a função potencial).
Isso porque todo campo conservativo deve ser irrotacional, ou seja, seu rotacional deve ser zero:
Para o o rotacional fica:
E para o :
Cuidado. Se o rotacional der diferente de zero o campo não é conservativo. Mas, se o campo for irrotacional, nada podemos afirmar ainda.
Eu recomendo fortemente que você verifique essa condição que, por mais que tenha contas meio chatas as vezes, é melhor do que ficar fazendo aquelas integrais pra achar a função potencial e não chegar em lugar nenhum.
Propriedades do campo conservativo
Já definimos o que é um campo conservativo e sabemos como verificar se ele é ou não conservativo. Mas no que isso ajuda? É disso que eu quero falar com você agora. Se você confirmar que é conservativo, você pode facilitar a integral de linha com essas propriedades
Se a curva tiver ponto inicial e final , então
O que essa propriedade diz é que se é conservativo a integral de linha pode ser calculada através da função potencial no ponto final menos a potencial no ponto inicial. Não importa qual a curva, só os pontos inicial e final. E sim, se a curva for fechada, ou seja, a integral de linha sempre vai valer zero!
E quando não achamos a potencial?
Cara, vou te contar um segredo muito triste: muitas vezes não será fácil achar a função potencial :’(
Por sorte, a gente ainda pode usar o fato que a integral não depende da curva! Como? A gente vai escolher uma curva com os mesmos pontos inicial e final, mas que seja fácil de calcular a integral de linha!
Deixa eu te mostrar como isso é importante, vê esse exemplo aqui!
Exemplo
Calcule a integral de linha do campo conservativo ao longo da curva parametrizada por , .
Passo 1: Se o campo é conservativo, vamos tentar encontrar uma função potencial
Eita, aqui temos algo bem difícil de integrar. Então, não me parece viável encontrar uma função potencial... E agora? Vamos ter que fazer essa integral por essa curva super complicada também? Não! Vamos usar a independência do caminho!
Passo 2: Encontrar os pontos inicial e final
Passo 3: Definir uma curva simples que ligue a
A curva mais simples nesse caso vai ser a reta que liga os dois pontos, parametrizada por:
(mas cuidado com a orientação, nesse caso vai de 1 a -1)
Com vetor tangente:
Ou seja, saímos de uma curva absolutamente bizarra pra uma super tranquilinha , totalmente viável para integrarmos.
Passo 4: calcular a integral
Simplificamos bastante as coisas, não achou? O truque foi escolher as curvas mais simples possível. Quase sempre vão ser retas e eu recomendo fortemente que você escolha retas que só variem em uma variável, mesmo que tenha que criar mais de uma (por exemplo: para ligar o ponto ao ponto vale a pena criar as retas e, ao invés de criar uma reta só).
Condição mais do que suficiente para o campo ser conservativo
No exemplo que a gente viu, o enunciado já dizia que o campo era conservativo, mas normalmente não vai ser assim, você vai ter que descobrir por você mesmo.
E, se não da pra achar a função potencial, como vamos saber se o campo é mesmo conservativo e vamos poder usar essa propriedade que eu mal conheço mas já considero pakas?
Lembra que vimos que um campo conservativo deve ser irrotacional, e que isso nos garantia que podíamos ir até o final para calcularmos o potencial?
Nesse caso, é só fazer o mesmo teste. Na verdade, o campo ter rotacional e ser definido pra todo o espaço em que estamos. Isso já é mais do que suficiente para afirmarmos que o campo é mesmo conservativo.
Quer ver, vamos usar o exemplo acima:
Então:
Além disso, está definida para todos os reais. Logo, a função está definida para todo Assim, poderíamos saber que o campo é conservativo mesmo que a questão não tivesse nos falado.
Entendeu? Vamos à prática que você pega melhor!
O rotacional de um campo conservativo
Propriedades do campo conservativo
E quando não achamos a potencial?
Condição mais do que suficiente para o campo ser conservativo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2012.2 - 3a
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função , onde , é um potencial para o campo , para
Passo 1
Bom, para ser um potencial do campo , precisamos que:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos que mostrar então o seguinte:
Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?
Passo 2
Vamos começar achando quem é . O enunciado nos forneceu esses dados:
e
Fazendo esse cálculo, temos que
O problema também nos forneceu quem é :
Substituindo o valor de em , ficamos com
Beleza?
Passo 3
Como vimos no Passo 1, queremos mostrar que
Já achamos quem é , agora vamos achar as derivadas parciais de
O enunciado nos forneceu essa informação:
e
Substituindo o valor de em , ficamos com
Agora é achar as derivadas parciais. Vamos lá!
O que nos dá
Passo 4
Agora é verificar se
E o que encontramos foi,
Resposta
Verdadeira.
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009
Encontre uma função potencial para o campo
Passo 1
Vamos lá galera, a definição de função potencial é essa aqui
Sendo que é esse operador aqui
Então o que o enunciado quer é que achemos a função de forma que
Em outras palavras
Passo 2
Vamos começar pela primeira equação
Como é constante em relação a , essa integral fica
Vamos usar as outras equações pra descobrir quem é esse termo
Passo 3
A segunda equação diz que
Mas também sabemos que
Derivando isso em relação a temos
Agora é só igual isso que achamos com o valor original
Portanto é constante em relação a mas pode não ser em relação a , precisamos descobrir isso. Podemos dizer que
Passo 4
Vamos para a nossa terceira equação pra descobrir esse valor de , ela diz que
No passo anterior descobrimos que pode ser escrito por
Só precisamos derivar esse cara em relação a e igualar a equação anterior
Então descobrimos que também é constante em relação a , logo esse termo é uma constante numérica !
Não esqueça desse termo! A função potencial sempre vai ter uma constante somada a ela!
Passo 5
Encontramos a função potencial! Ela é escrita por
Resposta
Exercício Resolvido #3
CEFET - Cálculo Vetorial - P2 Bassani 2013.1 - 1c
Determine uma função tal que sendo e use este resultado para calcular sobre a curva definida pela semicircunferência superior que começa em e termina em .
Passo 1
Vamos usar nosso passo a passo para obter a função potencial!
Integrando a primeira componente em relação a vamos ter
Passo 2
Derivando a expressão de que achamos no passo anterior com relação a , vamos ter
Pela definição isso, deve ser igual a , ou seja
Integrando vamos ter que
Passo 3
Observa que aqui não surgiu os termos em . Isso ocorreu porque o campo era bidimensional, dai tudo fica mais fácil né? Assim, a nossa função potencial é
Passo 4
Se tem potencial, ele é conservativo! Então podemos usar a propriedade
Resposta
Exercício Resolvido #4
Diomara, Exemplo 6.10
Considere a curva parametrizada por , . Calcule , onde .
Passo 1
A gente podia tentar usar a definição nesse exercício, mas como temos seno na parametrização, ao colocar a parametrização dentro da função teríamos seno do seno e não sabemos integrar esse tipo de coisa. Vamos tentar usar campos conservativos então. Para isso precisamos achar de modo que
Passo 2
Seguindo o nosso passo a passo, temos que
Passo 3
Agora comparamos as duas equações para e chegamos à conclusão que:
Passo 4
Juntando tudo isso, fomos capazes de obter uma função potencial para
Por isso, o campo é conservativo! Como temos a liberdade de escolher o vamos fazer ele igual a zero ;)
Passo 5
Finalmente, podemos calcular a integral pedida. Temos que:
Resposta
Exercício Resolvido #5
George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 493-25.
Mostre que os valores da integral
Não depende do caminho tomado de A a B.
Passo 1
Como vimos na teoria, a independência do caminho é uma propriedade dos campos conservativos, pois para campos conservativos, com função potencial :
Ou seja, o valor da integral só depende dos pontos final e inicial da curva, como foi pedido na questão.
Então só precisamos verificar se o campo é mesmo conservativo!
Passo 2
Temos o campo:
Vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:
E como o campo está definido para todo o , nós vimos que essa condição é o suficiente para sabermos que o campo é conservativo.
Pronto! conservativo implica que a integral de linha não depende do caminho.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #6
George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education Brasil ltda., 2009, pp. 493-29.
Encontre o trabalho realizado por sobre os caminhos de a a seguir.
- O segmento de reta , ,
- A hélice ,
- O eixo de a seguido pela parábola , de a .
Passo 1
Antes de tudo, como ele pede muitas integrais, mas com pontos inicial e final iguais, vale a pena conferir se essas integrais realmente dependem do caminho percorrido ou não, porque se não dependerem, vamos nos dar muito bem, só vamos precisar calcular uma delas, né?
A gente viu na teoria que para a integral não depender do caminho, o campo deve ser conservativo e uma condição suficiente pra isso é que o campo seja irrotacional e definido para o domínio. Então vamos conferir isso?
Passo 2
Já começamos com uma boa noticia porque o campo é definido para todo o , então não teremos problemas quanto a isso.
Só falta conferir o rotacional do campo:
Agora, vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:
E então garantimos que o campo é conservativo, que ótimo!
Agora é só calcular a integral mais simples e reproduzir o resultado pra todos os itens. Vamos ver como que fica!
Passo 3
a)
O caminho do item parece o mais simples possível, já que é uma reta e tem duas coordenadas constantes, o que deixa o vetor tangente super tranquilo, vamos ver:
E o vetor tangente:
Muito simpático, vamos só jogar na integral:
Que não é uma integral trivial, mas da pra fazer por partes, né?
Passo 4
b)
Como dissemos, como o campo é conservativo, então a integral não depende do caminho e, para qualquer curva , vamos usar o resultado do item :
Passo 5
c)
Mais uma vez, vamos ter a independencia do caminho a nosso favor e, usando o resultado do item :
Resposta
- 1
- 1
- 1
Exercício Resolvido #7
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 170-3.
Seja , onde é a semi-reta . Calcule
Onde é uma curva por partes, com imagem contida em , tal que e .
Passo 1
Bem, o que o exercício pede é uma integral de linha:
Nós temos o campo mas o enuciado não nos dá nenhuma curva específica, então não temos como parametrizá-la.
Então vamos torcer pra que possamos resolvê-la de outra forma... O que acha de uma função potencial? Parece uma boa ideia, vamos ver se dá!
Passo 2
A gente viu na teoria que, para podermos achar uma função potencial, o campo deve ser conservativo. Ou seja como ele está definido para toda a região (já que a reta não pertence ao conjunto dado), só precisamos verificar:
Vamos testar:
Valores meio estranhos, mas pelo menos:
Ou seja, o campo é conservativo e existe uma função potencial!
Passo 3
Se existe uma função potencial , a gente viu que:
Sendo e .
Então só falta acharmos essa nossa função potencial , vamos lembrar do método que temos:
Então:
Passo 4
Finalmente, vamos ter:
Mas, podemos ver pela circinferência trigonométrica:
O primeiro ponto é , logo para negativo e positivo:
O primeiro ponto é , logo para positivo e positivo:
Então: