7 - Estabeleça um método prático para se determinar a solução geral de um sistema com quatro equações diferenciais lineares, de ordem, homogêneas e com coeficientes constantes.
Observação: Quando poderá ocorrer soluções do tipo:
Passo 1
Baseado em como a gente resolve sistemas de 2 ou três equações diferenciais lineares, podemos generalizar a solução para um sistema de 4 equações, não concorda?
Então vamos lá!
Passo 2
Tudo depende inicialmente da matriz de coeficientes (que vai ter ordem 4 por 4 aqui). Você vai continuar calculando os autovalores dela que só dessa vez você deve encontra quatro valores para :
E assim como tínhamos lá no caso 3x3, esses ’s podem ser de diversos tipos:
- Podem ser todos reais e diferentes:
- Podem ser todos reais, onde dois deles são iguais:
- Podem ser todos reais, onde três deles são iguais:
- Podem se todos reais, onde três todos são iguais:
- Podem ser todos imaginários complexos:
- Pode der dois reais diferentes e dois complexos imaginários:
- Por fim, pode der dois reais iguais e dois complexos imaginários:
Agora vamos ver como vai ficar a solução para cada uma dessas possibilidades!
Passo 3
A solução geral , dependerá das soluções fundamentais, :
E cada uma dessas soluções fundamentais pode ser encontrada assim:
- Podem ser todos reais e diferentes:
- Podem ser todos reais, onde dois deles são iguais:
- Podem ser todos reais, onde três deles são iguais:
- Podem se todos reais, onde três todos são iguais:
- Podem ser todos imaginários complexos:
- Pode der dois reais diferentes e dois complexos imaginários:
- Por fim, pode der dois reais iguais e dois complexos imaginários:
Passo 4
Onde os são os autovetores reais, enquanto , , e já são os autovetores complexos ( e são as partes reis e e já são as partes imaginárias). Todos eles são sempre determinados assim:
A menos nos casos onde temos autovalores reais e iguais. Veja:
- Podem ser todos reais e diferentes:
- Podem ser todos reais, onde dois deles são iguais:
- Podem ser todos reais, onde três deles são iguais:
- Podem se todos reais, onde três todos são iguais:
- Podem ser todos imaginários complexos:
- Pode der dois reais diferentes e dois complexos imaginários:
- Por fim, pode der dois reais iguais e dois complexos imaginários:
Onde
Onde
Onde
Enfim, após encontrar os autovetores, basta montar a resposta final:
Resposta
Questão de demonstração.