7 - Estabeleça um método prático para se determinar a solução geral de um sistema com quatro equações diferenciais lineares, de 1 ª ordem, homogêneas e com coeficientes constantes.

Observação: Quando λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 poderá ocorrer soluções do tipo:

u 1 + t u 2 + t 2 2 ! u 3 + t 3 3 ! u 4 e λ 1 t

Passo 1

Baseado em como a gente resolve sistemas de 2 ou três equações diferenciais lineares, podemos generalizar a solução para um sistema de 4 equações, não concorda?

Então vamos lá!

Passo 2

Tudo depende inicialmente da matriz de coeficientes (que vai ter ordem 4 por 4 aqui). Você vai continuar calculando os autovalores dela que só dessa vez você deve encontra quatro valores para λ :

λ 1 ,   λ 2 ,   λ 3     e       λ 4

E assim como tínhamos lá no caso 3x3, esses λ ’s podem ser de diversos tipos:

  1. Podem ser todos reais e diferentes:
  2. λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 ≠ λ 4

  3. Podem ser todos reais, onde dois deles são iguais:
  4. λ 1 = λ 2 ≠ λ 3 ≠ λ 4

  5. Podem ser todos reais, onde três deles são iguais:
  6. λ 1 = λ 2 = λ 3 ≠ λ 4

  7. Podem se todos reais, onde três todos são iguais:
  8. λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4

  9. Podem ser todos imaginários complexos:
  10. λ 1,2 = a ± b i         e         λ 3,4 = c ± d i

  11. Pode der dois reais diferentes e dois complexos imaginários:
  12. λ 1 ≠ λ 2           e         λ 3,4 = c ± d i

  13. Por fim, pode der dois reais iguais e dois complexos imaginários:

λ 1 = λ 2           e         λ 3,4 = c ± d i

Agora vamos ver como vai ficar a solução para cada uma dessas possibilidades!

Passo 3

A solução geral X t = x t ,   y t ,   z t ,   w t , dependerá das soluções fundamentais, X 1 ,   X 2 ,   X 3   e   X 4 :

X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + c 4 X 4

E cada uma dessas soluções fundamentais pode ser encontrada assim:

  1. Podem ser todos reais e diferentes:
  2. X 1 = v 1 e λ 1 t

    X 2 = v 2 e λ 2 t

    X 3 = v 3 e λ 3 t

    X 4 = v 4 e λ 4 t

  3. Podem ser todos reais, onde dois deles são iguais:
  4. X 1 = v 1 e λ 1 t

    X 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t

    X 3 = v 3 e λ 3 t

    X 4 = v 4 e λ 4 t

  5. Podem ser todos reais, onde três deles são iguais:
  6. X 1 = v 1 e λ 1 t

    X 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t

    X 3 = v 1 t e λ 2 t + v 2 t 2 2 ! e λ 2 t + v 3 e λ 3 t

    X 4 = v 4 e λ 4 t

  7. Podem se todos reais, onde três todos são iguais:
  8. X 1 = v 1 e λ 1 t

    X 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

    X 3 = v 1 t 2 2 ! e λ 1 t + v 2 t e λ 2 t + v 3 e λ 3 t

    X 4 = v 1 t 3 3 ! e λ 1 t + v 2 t 2 2 ! e λ 2 t + v 3 t e λ 3 t + v 4 e λ 4 t

  9. Podem ser todos imaginários complexos:
  10. λ 1,2 = a ± b i         e         λ 3,4 = c ± d i       →

    X 1 = e a t α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

    X 2 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

    X 3 = e c t γ → sin ⁡ b t + δ → cos ⁡ b t

    X 4 = e c t γ → cos ⁡ b t - δ → sin ⁡ b t

  11. Pode der dois reais diferentes e dois complexos imaginários:
  12. X 1 = v 1 e λ 1 t

    X 2 = v 2 e λ 2 t

    X 3 = e c t γ → sin ⁡ b t + δ → cos ⁡ b t

    X 4 = e c t γ → cos ⁡ b t - δ → sin ⁡ b t

  13. Por fim, pode der dois reais iguais e dois complexos imaginários:

X 1 = v 1 e λ 1 t

X 2 = v 1 t e λ 1 t + v 2 e λ 2 t

X 3 = e c t γ → sin ⁡ b t + δ → cos ⁡ b t

X 4 = e c t γ → cos ⁡ b t - δ → sin ⁡ b t

Passo 4

Onde os v são os autovetores reais, enquanto α , β , γ e δ já são os autovetores complexos ( α e γ são as partes reis e β e δ já são as partes imaginárias). Todos eles são sempre determinados assim:

A - λ I v = 0

A menos nos casos onde temos autovalores reais e iguais. Veja:

  1. Podem ser todos reais e diferentes:
  2. A - λ 1 I v 1 = 0

    A - λ 2 I v 2 = 0

    A - λ 3 I v 3 = 0

    A - λ 4 I v 4 = 0

  3. Podem ser todos reais, onde dois deles são iguais:
  4. A - λ 1 I v 1 = 0

    A - λ 2 I v 2 = v 1

    A - λ 3 I v 3 = 0

    A - λ 4 I v 4 = 0

  5. Podem ser todos reais, onde três deles são iguais:
  6. A - λ 1 I v 1 = 0

    A - λ 2 I v 2 = v 1

    A - λ 3 I v 3 = v 2

    A - λ 4 I v 4 = 0

  7. Podem se todos reais, onde três todos são iguais:
  8. Podem ser todos imaginários complexos:
  9. λ 1,2 = a ± b i         e         λ 3,4 = c ± d i       →

    A - λ 1 I v 1 = 0

    A - λ 3 I v 3 = 0

    Onde v 1 = α + β i   e   v 3 = γ + δ i

  10. Pode der dois reais diferentes e dois complexos imaginários:
  11. A - λ 1 I v 1 = 0

    A - λ 2 I v 2 = 0

    A - λ 3 I v 3 = 0

    Onde v 3 = γ + δ i

  12. Por fim, pode der dois reais iguais e dois complexos imaginários:

A - λ 1 I v 1 = 0

A - λ 2 I v 2 = v 1

A - λ 3 I v 3 = 0

Onde v 3 = γ + δ i

Enfim, após encontrar os autovetores, basta montar a resposta final:

X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + c 4 X 4

Resposta

Questão de demonstração.

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