6 - Seja W t ,   t ∈ R , o wronskiano de três soluções do sistema 1 :

W t = x 1 t x 2 t x 3 t y 1 t y 2 t y 3 t z 1 t z 2 t z 3 t

Mostre que

C)

W t = W 0 e a 11 + a 22 + a 33 t ,         t ∈ R

Passo 1

Sabemos da Letra B que a expressão...

W ˙ = a 11 + a 22 + a 33 W

É válida!

Repare que essa é uma EDO de primeira ordem, afinal a 11 + a 22 + a 33 são constantes!

Passo 2

A resolução de uma EDO de primeira ordem como esta aqui:

u ' = p t u

Nada mais é que...

u = k e ∫ p t d t

Onde k é a constante que vem da resolução. Mas no nosso caso, ao invés de p t temos as constantes a 11 + a 22 + a 33 , e como toda constante, elas podem sair da integral...

W t = k e a 11 + a 22 + a 33 ∫ d t   →

W t = k e a 11 + a 22 + a 33 t  

Sim, falta descobrir quem é k . Vamos nessa!

Passo 3

Se fizermos t = 0 a exponencial vira 1 , afinal e 0 = 1 ...

W t = k e a 11 + a 22 + a 33 t     →

W 0 = k e 0   →

k = W 0

Sacou? Então, a solução de fato será...

W t = W 0 e a 11 + a 22 + a 33 t ,         t ∈ R

Resposta

Questão de demonstração.

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