5 - Suponha que três tanques A , B e C contendo, cada um, uma solução de água e sal estão interligados de modo que do tanque A escoe solução para os tanques B e C , do tanque B , escoe solução para A e C e de C escoe para os tanques A e B . Sejam x t , y t e z t as quantidades (em k g ) de sal nos tanques A , B e C , respectivamente. Sabendo que:

x ˙ = - 2 x + y + z y ˙ = x - 2 y + z z ˙ = x + y - 2 z  

E que x 0 = 2 , y 0 = 5 e z 0 = 8 , calcule

  lim t → ∞ ⁡ x t ,   y t ,   z t

Interprete.

Passo 1

A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!

Montando a matriz dos coeficientes A baseado no sistema então, obteremos:

A = - 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores λ de uma matriz são do tipo:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair λ na diagonal principal da matriz A , veja:

det ⁡ - 2 - λ 1 1 1 - 2 - λ 1 1 1 - 2 - λ = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

  ⁡ - 2 - λ 1 1 1 - 2 - λ 1 1 1 - 2 - λ - 2 - λ 1   1 - 2 - λ   1 1   = 0     →

- 2 - λ 3 + 1 + 1 - - 2 - λ - - 2 - λ - - 2 - λ = 0

Simplificando isso aí...

- 1 3 2 + λ 3 - 3 - 2 - λ + 2 = 0     →

- 2 3 + 3 ⋅ 2 2 λ + 3 ⋅ 2 λ 2 + λ 3 + 6 + 3 λ + 2 = 0     →

- 8 + 12 λ + 6 λ 2 + λ 3 + 3 λ + 8 = 0     →

- λ 3 - 6 λ 2 - 9 λ = 0     →

- λ λ 2 + 6 λ + 9 = 0     →

Então, a forma disso ser 0 é se:

λ 1 = 0               o u           λ 2 + 6 λ + 9 = 0

Dessa equação, por soma e produto tiramos que:

λ 2 = - 3

λ 3 = - 3

O conjunto de soluções fundamentais x k para cada um deles vão ser:

  • Para o λ 1 que é real e único...
  • x 1 = v 1 e λ 1 t

  • Para λ 2 que é real e diferente dos λ ’s já estudados...
  • x 2 = v 2 e λ 2 t

  • Para o λ 3 que é real, mas igual ao λ 2 :

x 3 = v 2 t e λ 2 t + v 3 e λ 3 t

Onde v 1 , v 2 e v 3 são os autovetores:

A - λ 1 I v 1 = 0

A - λ 2 I v 2 = 0

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

A - λ 1 I v 1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

A - λ 1 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- 2 - λ 1 1 1 1 - 2 - λ 1 1 1 1 - 2 - λ 1 a b c = 0

Como λ 1 = 0 ...

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 a b c = 0   →

Resolvendo esse produto matricial aí...

- 2 a + b + c = 0 a - 2 b + c = 0 a + b - 2 c = 0

Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...

- 3 a + 3 b = 0     →           a = b

Então...

a + b - 2 c = 0   →

2 b - 2 c = 0                   c = b

Se escolhermos c = 1 ...

v 1 = 1 1 1

Passo 4

AUTOVETOR 2:

A - λ 2 I v 2 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

a b c

Novamente teremos...

A - λ 2 I a b c = 0

Lembre-se de que menos λ I nada mais é do que subtrair λ da diagonal principal:

- 2 - λ 2 1 1 1 - 2 - λ 2 1 1 1 - 2 - λ 2 a b c = 0

Como λ 2 = - 3 ...

- 2 + 3 1 1 1 - 2 + 3 1 1 1 - 2 + 3 a b c = 0     →

1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c = 0     →

Resolvendo esse produto matricial aí...

a + b + c = 0 a + b + c = 0 a + b + c = 0

Escolhendo a = 1 e b = 0 ...

v 2 = 1 0 - 1

Ou escolhendo agora b = 1 e a = 0 ...

v 3 = 0 1 - 1

Esses são dois autovetores diferentes e ortogonais associados ao λ 2 .

Passo 5

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

x 3 = v 3 e λ 3 t + v 2 t e λ 2 t

Substituindo...

x 1 = 1 1 1 e 0 t

x 2 = 1 0 - 1 e - 3 t

x 3 = 0 1 - 1 e - 3 t + 1 0 - 1 t e - 3 t

A solução final é então dada pela expressão:

x y z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3   →

x y z = c 1 1 1 1 e 0 t + c 2 1 0 - 1 e - 3 t + c 3 0 1 - 1 e - 3 t + c 3 1 0 - 1 t e - 3 t       →

x y z = c 1 1 1 1 + c 2 1 0 - 1 e - 3 t + c 3 0 1 - 1 e - 3 t + c 3 1 0 - 1 t e - 3 t       →

Colocando em notação de chave...

x = c 1 + c 2 e - 3 t + c 3 t e - 3 t y = c 1 + c 3 e - 3 t z = c 1 - c 2 e - 3 t - c 3 e - 3 t - c 3 t e - 3 t

Como sabemos que x 0 = 2 , y 0 = 5 e z 0 = 8 ...

x = c 1 + c 2 e 0 y = c 1 + c 3 e 0 z = c 1 - c 2 e 0 - c 3 e 0   →

2 = c 1 + c 2 5 = c 1 + c 3 8 = c 1 - c 2 - c 3   →

3 = c 3 - c 2     →               c 3 = 5 - c 1

Da primeira equação...

c 2 = 2 - c 1

Jogando tudo na última...

c 1 - 2 + c 1 - 5 + c 1 = 8     →

3 c 1 = 15     →           c 1 = 5

Logo c 2 = - 3 e c 3 = 0 , portanto, a real solução será...

x = 5 - 3 e - 3 t y = 5 z = 5 + 3 e - 3 t

Passo 6

O limite das soluções...

lim t → ∞ ⁡ x t ,   y t ,   z t

Como a exponencial vai a 0 para t no infinito...

  lim t → ∞ ⁡ x t ,   y t ,   z t = 5 ,   5 ,   5

O que faz todo sentido, pois no tempo infinito, a quantidade de sal vai se dissolver e de ficar totalmente dissolvida nas caixas, fazendo a quantidade de sal presente nas caixas sempre serem as mesmas!

Resposta

Letra A:

x = 5 - 3 e - 3 t y = 5 z = 5 + 3 e - 3 t

Letra B:

  lim t → ∞ ⁡ x t ,   y t ,   z t = 5 ,   5 ,   5

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