5 - Suponha que três tanques , e contendo, cada um, uma solução de água e sal estão interligados de modo que do tanque escoe solução para os tanques e , do tanque , escoe solução para e e de escoe para os tanques e . Sejam , e as quantidades (em ) de sal nos tanques e , respectivamente. Sabendo que:
E que , e , calcule
Interprete.
Passo 1
A primeira coisa que deve ser feita aqui é determinar a solução desse sistema!
Montando a matriz dos coeficientes baseado no sistema então, obteremos:
Agora devemos buscar os autovalores dela!
Passo 2
AUTOVALORES:
Os autovalores de uma matriz são do tipo:
Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair na diagonal principal da matriz , veja:
O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?
Simplificando isso aí...
Então, a forma disso ser é se:
Dessa equação, por soma e produto tiramos que:
O conjunto de soluções fundamentais para cada um deles vão ser:
- Para o que é real e único...
- Para que é real e diferente dos ’s já estudados...
- Para o que é real, mas igual ao :
Onde , e são os autovetores:
Partiu calcular esses autovetores agora?
Passo 3
AUTOVETOR 1:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Onde , e são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de :
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Das duas primeiras equações, multiplicando a equação de baixo e somando com a de cima, conseguiremos...
Então...
Se escolhermos ...
Passo 4
AUTOVETOR 2:
Se chamarmos as coordenadas desse vetor de:
Novamente teremos...
Lembre-se de que menos nada mais é do que subtrair da diagonal principal:
Como ...
Resolvendo esse produto matricial aí...
Escolhendo e ...
Ou escolhendo agora e ...
Esses são dois autovetores diferentes e ortogonais associados ao .
Passo 5
Logo, as três soluções fundamentais serão:
Substituindo...
A solução final é então dada pela expressão:
Colocando em notação de chave...
Como sabemos que , e ...
Da primeira equação...
Jogando tudo na última...
Logo e , portanto, a real solução será...
Passo 6
O limite das soluções...
Como a exponencial vai a para no infinito...
O que faz todo sentido, pois no tempo infinito, a quantidade de sal vai se dissolver e de ficar totalmente dissolvida nas caixas, fazendo a quantidade de sal presente nas caixas sempre serem as mesmas!
Resposta
Letra A:
Letra B: