10. As trajetórias são elipses? Justifique.
Passo 1
Bem, aqui temos um problema de Retrato de fase e como sabemos temos que primeiro resolver a EDO para depois verificar isso (pelo menos iniciar a resolução).
Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:
Então, os autovalores podem ser encontrados por:
Então...
Show! As soluções fundamentais então serão assim:
Onde e :
Quanto a e são os autovetores!
Passo 2
Agora é que vem a graça! A teoria define pra gente que só teremos trajetórias no retrato de fase elíptica se . Se isso acontece, então de fato ela só dependerá de cossenos e senos:
E, portanto formará uma elipse como é no nosso caso!
Resposta
Sim! A trajetória é elíptica