10. As trajetórias são elipses? Justifique.

a ) {[[overset(˙)(x) = x + 2 y],[],[overset(˙)(y) = - x - y]])

Passo 1

Bem, aqui temos um problema de Retrato de fase e como sabemos temos que primeiro resolver a EDO para depois verificar isso (pelo menos iniciar a resolução).

{[[overset(˙)(x) = x + 2 y],[],[overset(˙)(y) = - x - y]])

Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:

A = [[[1,2],[-,1,-,1]]]

Então, os autovalores lambda podem ser encontrados por:

det ([[1,-,lambda,2],[-,1,-,1,-,lambda]]) = 0 ->

det ([[1,-,lambda,2],[-,1,-,1,-,lambda]]) = 0 ->

(1 - lambda) (- 1 - lambda) + 2 = ->

(- lambda)^2 - 1 + 2 = ->

lambda^2 + 1 = ->

lambda = +- sqrt(- 1) ->

Então...

lambda = +- i

Show! As soluções fundamentais então serão assim:

x^((1)) = e^(a t) (vec alpha cos (b t) - vec beta sin (b t))

x^((2)) = e^(a t) (vec alpha sin (b t) + vec beta cos (b t))

Onde a e b :

lambda = 0 +- i -> a = 0 e b = 1

Quanto a alpha e beta são os autovetores!

Passo 2

Agora é que vem a graça! A teoria define pra gente que só teremos trajetórias no retrato de fase elíptica se a = 0 . Se isso acontece, então de fato ela só dependerá de cossenos e senos:

x^((1)) = (vec alpha cos (b t) - vec beta sin (b t))

x^((2)) = (vec alpha sin (b t) + vec beta cos (b t))

E, portanto formará uma elipse como é no nosso caso!

Resposta

Sim! A trajetória é elíptica

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