2. Considere a série ∑ n = 1 ∞ a n , com a n > 0 para n ≥ q , onde q é um natural fixo. Seja f n = a n + 1 a n e considere g m = f 1 m . Suponha que

lim m → 0 + ⁡ 1 - g m - m m 2 = L

Prove que, se L for finito, a série será divergente.

Passo 1

Sabemos da demonstração do critério de Morgan que,

ln ⁡ k k 1 - a k + 1 a k - 1 = k l n k 1 - a k + 1 a k - 1 k = - m l n   m 1 - f 1 m - m m 2

Onde temos,

m = 1 2   e   f k = a k + 1 a k .

Passo 2

Fazendo g m = f 1 m ,   resulta

lim k → ∞ ⁡ ln ⁡ k k 1 - a k + 1 a k - 1 = lim m → 0 + ⁡ - m l n   m × lim m → 0 + ⁡ 1 - f 1 m - m m 2 = 0

Pois lim m → 0 + ⁡ - m l n   m = 0 . Pelo critério de De Morgan, a série será divergente.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro