1. Resolva.

B - y^(' ') - sec (x) y^' = 0 , - (pi)/(2) < x < (pi)/(2)

Passo 1

Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado dessa forma aqui:

u = y '

Então como u^' = y ' ' , podemos substituir na nossa equação:

u^' + tan (x) u = 0

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e^(- int sec (x) d x)

Passo 2

Como a integral de tangente a gente já conhece...

int sec (x) d x = ln |sec (x) + tan (x)| + C

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e^(- (ln |sec (x) + tan (x)|)) ->

u = A e^(ln |sec (x) + tan (x)|^(- 1)) ->

u = A (sec (x) + tan (x))^(- 1)

u = A ((1)/(cos (x)) + (sin (x))/(cos (x)))^(- 1) ->

u = A ((1 + sin (x))/(cos (x)))^(- 1) ->

u = A ((cos (x))/(1 + sin (x))) ->

Ótimo! Porque como y ' é u , vamos precisar integrar:

y^' = u ->

y = int A ((cos (x))/(1 + sin (x))) d x ->

Integrando então...

y = A int (cos (x))/(1 + sin (x)) d x ->

Fazendo a substituição de sin (x) por v ...

d v = cos x d x

y = A int (1)/(1 + v) d v ->

y = A ln |1 + v| + B

y = A ln |1 + cos x| + B

B é a constante de integração.

Resposta

y = A ln |1 + cos x| + B

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