17. Suponha que e , . Seja solução do sistema
Prove que o quadrado da distância do ponto , , à origem é constante. (Sugestão: Calcule a derivada em relação a da função .)
Interprete.
Passo 1
Poxa! Antes de provar isso, precisamos encontrar as funções e . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações diferencias. Para isso, aqui está a matriz de coeficientes retirada do nosso sistema:
E agora encontrar os seus autovalores !
Bem, como é apenas subtrair da diagonal principal...
Resolvendo o determinante...
Ora, (o número imaginário) então...
A solução de um sistema de EDO com imaginário é:
Onde e são:
Ora, e vem do autovalor complexo:
No nosso caso:
Portanto...
Já e vem do autovetor complexo ( é a parte real e o imaginário). Vamos então determinar esse autovetor !
Passo 2
Os autovetores podem ser calculados assim:
Então para o teremos de coordenadas desconhecidas complexas :
Ora, sabemos que asta subtrair da diagonal:
Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna e igualar a (produto de matrizes):
Se falarmos que , então...
Então um autovetor para é:
Aqui não precisa encontrar para o autovalor , pois só com o , já podemos falar quem é e quem é . Rescrevendo o vetor em parte real e imaginária...
Então...
Passo 3
Com isso podemos retornar para os valores de e ...
E substituir:
Então a solução será...
Juntando tudo vamos obter o seguinte...
Passo 4
A distância ao quadrado de um ponto no plano até a origem é dada pela função que ele nos deu:
Se a gente derivar essa função em relação à :
Como ou é...