17. Suponha que x = x t e y = y t , t ∈ R . Seja solução do sistema

x ˙ = y y ˙ = - x

Prove que o quadrado da distância do ponto x t ,   y t , t ∈ R , à origem é constante. (Sugestão: Calcule a derivada em relação a t da função C t = x t 2 + y t 2 .)

Interprete.

Passo 1

Poxa! Antes de provar isso, precisamos encontrar as funções x t e y t . Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações diferencias. Para isso, aqui está a matriz de coeficientes retirada do nosso sistema:

A = 0 1 - 1 0

E agora encontrar os seus autovalores λ !

det ⁡ A - λ I = 0

Bem, como A - λ I é apenas subtrair λ da diagonal principal...

det ⁡ - λ 1 - 1 - λ = 0     →

Resolvendo o determinante...

λ 2 - 1 - 1 = 0     →

λ 2 + 1 = 0     →

λ = ± - 1     →

Ora, - 1 = i (o número imaginário) então...

λ = ± i    

A solução de um sistema de EDO com λ imaginário é:

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2

Onde T 1 e T 2 são:

T 1 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sin ⁡ b t

T 2 = e a t α → sin ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

Ora, a e b vem do autovalor complexo:

λ = a ± b i

No nosso caso:

λ = ± i             →                 a = 0             e         b = 1

Portanto...

T 1 = α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

T 2 = α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

α → e β → vem do autovetor v → complexo ( α → é a parte real e β → o imaginário). Vamos então determinar esse autovetor v → !

Passo 2

Os autovetores podem ser calculados assim:

A - λ I v = 0

Então para o λ 1 = i teremos v 1 de coordenadas desconhecidas complexas a b :

A - λ 1 I v 1 = 0         →

A - λ 1 I a b = 0         →

Ora, sabemos que A - λ 1 I asta subtrair λ da diagonal:

1 - λ 1 - 4 2 - 3 - λ 1 a b = 0         →

0 - i 1 - 1 0 - i a b = 0    

- i 1 - 1 - i a b = 0    

Essas duas linhas são Linearmente dependentes e sempre serão! Então, basta pegar a primeira linha e multiplicar com a coluna a b e igualar a 0 (produto de matrizes):

- i a + b = 0   →

b = i a  

Se falarmos que a = 1 , então...

b = i  

Então um autovetor v 1 para λ 1 é:

v 1 = 1 i

Aqui não precisa encontrar v 2 para o autovalor λ 2 = i , pois só com o v 1 , já podemos falar quem é α → e quem é β → . Rescrevendo o vetor em parte real e imaginária...

v 1 = 1 i = 1 0 + 0 1 i

Então...

α → = 1 0                 e                       β → = 0 1

Passo 3

Com isso podemos retornar para os valores de T 1 e T 2 ...

T 1 = α → cos ⁡ t - β → sin ⁡ t

T 2 = α → sin ⁡ t + β → cos ⁡ t

E substituir:

T 1 = 1 0 cos ⁡ t - 0 1 sin ⁡ t

T 2 = 1 0 sin ⁡ t + 0 1 cos ⁡ t

Então a solução será...

x y = c 1 T 1 + c 2 T 2         →

x y = c 1 1 0 cos ⁡ t - 0 1 sin ⁡ t + c 2 1 0 sin ⁡ t + 0 1 cos ⁡ t     →

x y = c 1 1 0 cos ⁡ t - c 1 0 1 sin ⁡ t + c 2 1 0 sin ⁡ t + c 2 0 1 cos ⁡ t     →

Juntando tudo vamos obter o seguinte...

x = c 1 cos ⁡ t + c 2 sin ⁡ t   y = - c 1 sin ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

Passo 4

A distância ao quadrado de um ponto no plano x y até a origem é dada pela função que ele nos deu:

C t = x t 2 + y t 2     →

Se a gente derivar essa função em relação à t :

d C t d t = 2 x t ⋅ d x d t + 2 y t ⋅ d y d t   →

Como d x d t ou d y d t é...

x ˙ = y y ˙ = - x

d C t d t = 2 x t ⋅ y - 2 y t ⋅ x   →

d C t d t = 0  

Resposta

d C t d t = 0

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