15. Resolva o Exercício 10 com o auxílio do exercício 14.

EXERCÍCIO 10:

Mostre que a solução geral de x 4 y ' ' + k 2 y = 0 , onde k > 0 é uma constante real, é

y = x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x

Passo 1

Bem, sabemos do exercício 14 que a EDO com esse formato aqui:

y ' ' = g x y

Onde g x é uma função como esta aqui:

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4

Então a solução da EDO pode ser dada por...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Onde p x é tal que p ' x = k h x 2 , x ∈ I .

Passo 2

Show! Então vamos ver quem é a nossa função h x que satisfaça aquela condição da função g . Be,, vamos começar colocando a nossa EDO no formato padrão...

x 4 y ' ' + k 2 y = 0   →

x 4 y ' ' = - k 2 y   →

y ' ' = - k 2 x 4 y

Repare que se escolhermos h x = x ...

h x = x   →

h ' x = 1

h ' ' x = 0

Então, a função g será...

g x = 0 x - k 2 x 4   →

g x = - k 2 x 4

E que é exatamente a mesma da EDO! O que prova que a solução da nossa EDO será então assim:

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Passo 3

Falta ainda descobrir quem é o p x , neh? Pelo passo 1, sabemos que...

p ' x = k h x 2   →

p ' x = k x 2   →

Integrando de ambos lados...

p x = - k x

Passo 4

Belezinha, então podemos substituir na solução onde vamos obter...

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

y = x k 1 sin ⁡ - k x + k 2 cos ⁡ - k x →

POXA! Essa ainda não é a solução final. Será que erramos?

NÃO! Acontece que o cosseno de ângulo com menos é o mesmo do ângulo positivo. O seno, entretanto será negativo:

y = x - k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x →

Como k 1 é uma constante que não conhecemos, podemos falar que - k 1 é k 1 mesmo:

y = x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x

Resposta

y = x k 1 sin ⁡ k x + k 2 cos ⁡ k x

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