14. Seja h : I → R de classe C 2 com h x ≠ 0 em I uma função dada. Considere a equação y ' ' = g x y , com

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4

E sendo k > 0 uma constante. Verifique que a solução geral da equação é

y = h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x

Onde p x é tal que p ' x = k h x 2 , x ∈ I .

Passo 1

Bem, se é uma solução, a gente pode começar derivando! Cara, as derivadas aqui são chatas e longas então toma muito cuidada, ok?

A primeira derivada vai ficar assim:

y ' = h ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h x k 1 sin ⁡ p x ' + k 2 cos ⁡ p x ' →

Aí podemos simplificar um pouquinho...

y ' = h ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h x k 1 p ' x cos ⁡ p x - p ' x k 2 sin ⁡ p x →

y ' = h ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x →

E pronto! Esse é o máximo que conseguimos simplificar. Repare que estou deixando os colchetes apenas com seno e cosseno pra simplificar mesmo a vida.

Passo 2

Chegou a hora de derivar novamente! Cada termo daquela soma anterior vai se desmembrar por causa da regra do produto e a gente vai ter esse monstrinho aqui:

y ' ' = h ' ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x ' + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x ' →

Derivando esse termo em negrito:

y ' ' = h ' ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x ' →

Derivando esse outro termo em negrito...

y ' ' = h ' ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' x - p ' x k 1 sin ⁡ p x - p ' x k 2 cos ⁡ p x →

y ' ' = h ' ' x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h ' x p ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x + h x p ' ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x - h x p ' x 2 k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x →

SHOW! Para ficar mais organizado, podemos colocar em evidência os termos de cosseno e seno dessa forma aqui:

y ' ' = k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x h ' ' x - h x p ' x 2 + h ' x p ' x + h ' x p ' x + h x p ' ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x       ( I )

Já melhorou muito, neh?

Passo 3

Por outro lado, sabemos que...

y ' ' = g x y   →

y ' ' = h ' ' x h x - k 2 h x 4 y   →

y ' ' = h ' ' x h x - k 2 h x 4 y   →

Agora, repare que esse termo envolvendo k nada mais é do que o quadrado da derivada de p que ele nos deu:

p ' x = k h x 2     →       p ' x 2 = k 2 h x 4

Então...

y ' ' = h ' ' x h x - p ' x 2 h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x   →

Pegando esse h x e multiplicando...

y ' ' = h ' ' x - p ' x 2 h x k 1 sin ⁡ p x + k 2 cos ⁡ p x   ( I I )

Poxa vida! Essa equação número I I é exatamente a mesma coisa que o primeiro termo da equação número I do passo anterior! O que significa que se queremos que a derivada y ' ' = g x y seja verdade, então temos que esse outro termo aqui:

h ' x p ' x + h ' x p ' x + h x p ' ' x k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x     = 0   →

Deve ser igual a zero. Vamos verificar se ele é mesmo?

Passo 4

Usando o fato de que...

p ' x = k h x 2   →

Então...

p ' ' x = - k ⋅ 2 h x h ' x h x 4

Substituindo...

2 h ' x k h x 2 + h x - 2 k h ' x h x 3 k 1 cos ⁡ p x - k 2 sin ⁡ p x     = 0   →

Poxa, de fato esses termos aí se cancelam de forma que:

2 h ' x k h x 2 + h x - 2 k h ' x h x 3 = 0

Então é verdade!

g x = h ' ' x h x - k 2 h x 4

É solução da equação!

Resposta

Questão de demonstração.

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