14. Seja de classe com em uma função dada. Considere a equação , com
E sendo uma constante. Verifique que a solução geral da equação é
Onde é tal que , .
Passo 1
Bem, se é uma solução, a gente pode começar derivando! Cara, as derivadas aqui são chatas e longas então toma muito cuidada, ok?
A primeira derivada vai ficar assim:
Aí podemos simplificar um pouquinho...
E pronto! Esse é o máximo que conseguimos simplificar. Repare que estou deixando os colchetes apenas com seno e cosseno pra simplificar mesmo a vida.
Passo 2
Chegou a hora de derivar novamente! Cada termo daquela soma anterior vai se desmembrar por causa da regra do produto e a gente vai ter esse monstrinho aqui:
Derivando esse termo em negrito:
Derivando esse outro termo em negrito...
SHOW! Para ficar mais organizado, podemos colocar em evidência os termos de cosseno e seno dessa forma aqui:
Já melhorou muito, neh?
Passo 3
Por outro lado, sabemos que...
Agora, repare que esse termo envolvendo nada mais é do que o quadrado da derivada de que ele nos deu:
Então...
Pegando esse e multiplicando...
Poxa vida! Essa equação número é exatamente a mesma coisa que o primeiro termo da equação número do passo anterior! O que significa que se queremos que a derivada seja verdade, então temos que esse outro termo aqui:
Deve ser igual a zero. Vamos verificar se ele é mesmo?
Passo 4
Usando o fato de que...
Então...
Substituindo...
Poxa, de fato esses termos aí se cancelam de forma que:
Então é verdade!
É solução da equação!
Resposta
Questão de demonstração.