13. Olhando para o exercício anterior, resolva a equação:

D - x 1 - x y ' ' + 2 y = 0 ,     0 < x < 1

Passo 1

No problema anterior, verificamos que se uma EDO tem esse formato aqui:

y ' ' = h ' ' x h x y

Então a solução geral dela é dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

Certo?

Então temos que encontrar primeiro quem é h x e depois integrar! Vamos nessa?

Passo 2

Veja que a EDO que estamos lidando aqui é:

x 1 - x y ' ' + 2 y = 0

y ' ' = - 2 x 1 - x y

Por comparação, se tomarmos...

h x = x 1 - x   →

Então podemos encontrar as derivadas (em especial a segunda) e verificar:

h ' x = 1 - x - x   →

h ' ' x = - 1 - 1 = - 2

AHA! De Fato a nossa EDO possui o formato que a gente quer!

Sendo assim...

Passo 3

A Resposta geral será dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x   →

y = c 1 x 1 - x + c 2 x 1 - x ∫ 1 x 1 - x 2 d x   →

y = c 1 x 1 - x + c 2 x 1 - x ∫ 1 x 2 1 - x 2 d x   →

Integrando...

y = c 1 x 1 - x + c 2 x 1 - x 1 1 - x - 1 x - 2 ln ⁡ 1 - x + 2 ln ⁡ x   →

y = c 1 x 1 - x + c 2 x - c 2 1 - x - 2 c 2 x 1 - x ln ⁡ 1 - x + 2 c 2 x 1 - x ln ⁡ x   →

Resposta

y = c 1 x 1 - x + c 2 x - c 2 1 - x - 2 c 2 x 1 - x ln ⁡ 1 - x + 2 c 2 x 1 - x ln ⁡ x  

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