1.Prove que as séries abaixo são convergentes para todo x , com s e n x 2 ≠ 0 .

b) ∑ k = 1 ∞ c o s k x k  

Passo 1

Consideremos as sequências a k = 1 k   e   b k = c o s   k x .

Temos

c o s   x + c o s   2 x + … + c o s   k x = sen ⁡ k x 2 . cos ⁡ k + 1 x 2 s e n x 2   ( v e j a   o   E x e m p l o   3 )

Ou seja

c o s   x + c o s   2 x + … + c o s   k x = s e n   k x + x 2 + s e n - x 2 1 2   s e n x 2

(pois sen ⁡ a + sen ⁡ b = 2 s e n   a + b 2 s e n a - b 2 ) .

c o s   x + c o s   2 x + … + c o s   k x = s e n   k x + x 2 - s e n x 2 1 2   s e n x 2 = s e n   k x + x 2 2 s e n x 2 - s e n x 2 2 s e n x 2 = s e n   k x + x 2 2 s e n x 2 - 1 2 = 1 2 s e n   k x + x 2 2 s e n x 2 - 1

Passo 2

Para x ≠ 2 n π   t e m o s

c o s   x + c o s   2 x + … + c o s   k x ≤ 1 4 s e n x 2     s e n x 2 ≠ 0

Logo, as sequencias a k = 1 k   e   b k = c o s   k x satisfazem as condições do critério de Dirichlet e , portanto, a série ∑ k = 1 ∞ c o s k x k   é convergente.

Resposta

Demonstração.

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