1. Calcule a soma da série dada.

j) sum_(k = 0)^(oo) (1)/(( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 ))

Passo 1

Decompondo em frações parciais a série dada, chegamos em:

= (1)/(2) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 3)] = (1)/(2) (1 - (1)/(3) + (1)/(5) - (1)/(7) + ...)

= (1)/(2) sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(2 k + 1)

Como sabemos que sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(2 k + 1) = a r c t g 1 , podemos substituir na equação acima e ficamos com:

sum_(k = 0)^(oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) = (1)/(2) sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k (1)/(2 k + 1) = (1)/(2) . (pi)/(4) = (pi)/(8)

Resposta

sum_(k = 0)^(oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) = (pi)/(8)

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