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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 26

3-32. Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(n^2 - 1))

Passo 1

Então pessoal, para determinarmos se a série em questão converge ou diverge vamos utilizar o teste de comparação de limite, tudo bem? Vamos tomar uma série que seja parecida com a nossa para tomarmos como referência. Uma possível série é:

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(n^2)) = sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n ²)

Vamos chamar a_n = (1)/(n sqrt(n^2 - 1)) e b_n = (1)/(n^2) , beleza? O teste de comparação de limite consiste em resolvermos o seguinte limite:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n)

Se o resultado desse limite for uma constante c > 0 , então ambas as séries convergem ou divergem. No entanto, como pegamos uma série converegente como referência, então se o resultado for c > 0 , nossa conclusão será de que a série que temos é convergente, beleza? Então let’s go!

Passo 2

Substituindo os valores de a_n e b_n , teremos:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1)/(n sqrt(n^2 - 1)))/((1)/(n^2)) = underset(n -> oo)(lim) (n)/(sqrt(n^2 - 1))

Dividindo tudo por n , teremos:

underset(n -> oo)(lim) ((n)/(n))/(sqrt((n^2)/(n^2) - (1)/(n^2))) = underset(n -> oo)(lim) (1)/(sqrt(1 - (1)/(n^2)))

Aplicando o limite de fato, obteremos:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = 1 > 0

Portanto, a série que nos foi dada é convergente.

Resposta

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(n^2 - 1)) é c o n v e r g e n t e

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