Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 15
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala aí galerinha!
Temos que analisar se a seguinte série converge ou diverge.
Iremos utilizar o método da comparação. Pois, é esse o método que o livro ensinou nesta seção. E o que é o método do teste da comparação? 🤔
É um método que nos permite saber se uma série dada converge ou não, ao compará-la com uma outra série parecida que já sabemos a resposta.
Uma forma de reconhecer se um exercício deve ser resolvido com esse método. É tentar encontrar a série de comparação, parecida com a série do exercício. E tentar encontrar se essa série é convergente ou divergente. Se conseguir realizar essas duas etapas, então fique tranquilo para resolver com o método da comparação.
Agora que já ficou claro como iremos resolver, vamos colocar a mão na massa?
No teste da comparação, temos uma série e vamos usar uma série de comparação:
- Se e diverge, então também diverge
- Se e converge, então também converge
Vamos então achar nossa série de comparação!
Passo 2
Primeiramente temos que encontrar uma série que seja parecida o suficiente com a série dada, e que seja possível encontrar se converge ou não. Essa série de comparação será chamada de .
E sendo:
Uma dica muito útil nesse momento. É observarmos qual a maior potência do numerador e do denominador, utilizando essa maior potência para ser o numerador e o denominador de nossa série. Nesse caso há apenas um termo no numerador . E no denominador utilizaremos . Logo temos:
Essa série é uma série geométrica com razão . O que por definição faz com que ela seja divergente. Quero que preste atenção nisso: Toda série com a seguinte estrutura chamada de geométrica. E se a razão não for menor que . Então a série diverge.
Ou seja, toda série geométrica com razão > 1 será divergente. Guarde muito bem essa informação, pois é extremamente importante.
Passo 3
Agora, vamos fazer a comparação entre essa série e a série dada pelo exercício:Podemos analisar ambas as séries, e perceber que sempre será maior que para qualquer valor de .
E o que isso nos diz sobre a convergência da série dada? 🤔
Para responder isso, precisamos recordar do teorema da comparação.
“Se é divergente e se:
Então também diverge, se a partir de algum valor qualquer de essa relação sempre se mantenha.” Ou seja: