5.Olhando para a identidade de Abel, prove o seguinte critério devido a Abel. Critério de Abel. Suponha que a sequência , seja crescente (ou decrescente) e limitada e que a série seja convergente. Nestas condições, a série é convergente.
Passo 1
No critério de Abel impomos mais sobre a série e menos sobre a sequencia, enfraquecemos a hipótese sobre a sequência mas em compensação exigimos que a série seja convergente.
Como, por hipótese, é convergente, seque que a sequência é convergente. Sendo a sequência crescente (ou decrescente) e limitada, tal sequência será, também, convergente e, digamos, com limite a. Segue que a série telescópica é convergente e com soma .
Passo 2
Segue, também, que tal série é absolutamente convergente e a soma será , se for crescente e se for decrescente. Sendo a sequência convergente, ela será limitada, ou seja, existe tal que para todo natural n. Deste modo, a série
É convergente, pois é majorada pela série convergente
Assim,
Cuidado. A única hipótese sobre a série é que ela seja convergente, mas poderá ser uma série de termos quaisquer.
Resposta
Demonstração,