5.Olhando para a identidade de Abel, prove o seguinte critério devido a Abel. Critério de Abel. Suponha que a sequência a k ,   k ≥ 0 , seja crescente (ou decrescente) e limitada e que a série ∑ k = 0 ∞ b k seja convergente. Nestas condições, a série ∑ k = 0 ∞ a k b k é convergente.

Passo 1

No critério de Abel impomos mais sobre a série e menos sobre a sequencia, enfraquecemos a hipótese sobre a sequência a k , mas em compensação exigimos que a série ∑ k = 0 ∞ b k seja convergente.

Como, por hipótese, ∑ k = 0 ∞ b k é convergente, seque que a sequência B n = ∑ k = 0 n b k é convergente. Sendo a sequência a k crescente (ou decrescente) e limitada, tal sequência será, também, convergente e, digamos, com limite a. Segue que a série telescópica ∑ k = 0 ∞ ( a k - a k + 1 ) é convergente e com soma a o - a .

Passo 2

Segue, também, que tal série é absolutamente convergente e a soma ∑ k = 0 ∞ a k - a k + 1 será a - a 0 , se a k for crescente e a 0 - a , se a k for decrescente. Sendo a sequência B n convergente, ela será limitada, ou seja, existe M > 0 tal que B n ≤ M para todo natural n. Deste modo, a série

∑ k = 0 ∞ B k ( a k - a k + 1 )

É convergente, pois é majorada pela série convergente ∑ k = 0 ∞ B a k - a k + 1 .

Assim,

∑ k = 0 ∞ a k b k = lim n → ∞ ⁡ B n a n + ∑ k = 0 ∞ B k ( a k - a k + 1 )

Cuidado. A única hipótese sobre a série ∑ k = 0 ∞ b k é que ela seja convergente, mas poderá ser uma série de termos quaisquer.

Resposta

Demonstração,

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