2. Prove que sum_(k = 1)^(oo) (|s e n k|)/(k) é divergente.

Passo 1

Seja a série sum_(k = 1)^(oo) (|s e n k|)/(k) .

Temos que |s e n k| >= |s e n^2 k| e s e n^2 k = (1)/(2) - (1)/(2) cos 2 k .

Portanto, ((1)/(2 k) - (1)/(2 k) cos 2 k) <= (|s e n k|)/(k) .

Passo 2

Como sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(2 k) - (1)/(2 k) cos 2 k) é divergente segue, pelo critério de comparação, que sum_(k = 1)^(oo) (|s e n k|)/(k) é divergente.

(Observe: sum_(k = 1)^(oo) (1)/(2 k) é divergente e, pelo item b do exercício anterior, sum_(k = 1)^(oo) (cos 2 k)/(2 k) é convergente, logo sum_(k = 1)^(oo) ((1)/(2 k) - (cos 2 k)/(2 k)) é d i v e r g e n t e . )

Resposta

Demonstração.

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