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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 13

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

13. y = e x , y = e 2 x , x = 0 , x = ln ⁡ 2 .

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

E vamos usar a integral da exponencial que é assim:

Passo 2

A função y = e 2 x estará acima da função y = e x , pois cresce mais rapidamente por ter expoente 2 x . Então quem delimita acima é a função y = e 2 x e y = e x , então:

f x = e 2 x   e   g x = e x

Agora quem delimita à direita é x = ln ⁡ 2   e à esquerda é x = 0 , então:

a = 0 e b = ln ⁡ 2

Vamos montar a integral, então:

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 ( e 2 x - e x ) d x

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 ( e 2 x - e x ) d x = F ln ⁡ 2 - F ( 0 )

Vamos fazer primeiro a integral indefinida separadamente!

∫ ( e 2 x - e x ) d x = ∫ e 2 x d x - ∫ e x d x

∫ e 2 x d x = 1 2 e 2 x + C

∫ e x d x = e x + C

∫ ( e 2 x - e x ) d x = 1 2 e 2 x - e x + C

Então fazendo F ln ⁡ 2 e F 0 , sabendo que F x = 1 2 e 2 x - e x

F ln ⁡ 2 = 1 2 e 2 ln ⁡ 2 - e ln ⁡ 2 = 1 2 × 4 - 2 = 2 - 2 = 0

F 0 = 1 2 e 2 0 - e 0 = 1 2 - 1 = - 1 2

Voltando para a integral definida:

A = ∫ 0 ln ⁡ 2 ( e 2 x - e x ) d x = F ( ln ⁡ 2 ) - F ( 0 ) = 0 - - 1 2 = 1 2

Então a área é:

A = 1 2

Resposta

A = 1 2

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