Exercícios de Área entre Curvas - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule a área delimitada entre as curvas:

Considere a região delimitada pelas curvas e

Esboce a região .

Calcule a área da região .

Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

E o eixo , com

Calcule a área da região limitada pelas curvas e . Faça um esboço da região.

Seja a região limitada entre e o eixo . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide em duas subregiões com áreas iguais.

Calcule a área delimitada entre as curvas:

Determine a área da região , onde:

é a região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .

Calcule a área delimitada entre as curvas:

Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.

a)

Esboce a região do plano delimitada pelos gráficos e e calcule sua área.

Calcule a integral

onde é o pedaço dada curva dada pela equação , com , , orientada no sentido anti-horário. Justifique.

Seja e considerar a reta de equação , . Determine o valor de para o qual as áreas e mostradas na figura são iguais.

Determine a área da figura plana delimitada pelos gráficos de e e pelas retas e .

Dado o gráfico de abaixo, determine a área compreendida entre os gráficos de e , para .

Calcule a área da região limitada compreendida entre os gráficos de e .

Determine a área entre as curvas e , com .

Na figura abaixo, sabendo que , a reta é a reta horizontal e a reta é tangente ao gráfico da em , ache a área da região cinza.

Considere os pontos e

1. Determine a equação da reta que passa por estes dois pontos
2. Determine a equação da parábola que também passa por estes dois pontos.
3. Determine a área da região delimitada pela reta e pela parábola acima.

Considere a região delimitada pela parábola , pela reta tangente a esta parábola em e pelas retas e .

Esboce a região , indicando claramente a região na sua figura.

Determine a equação da reta tangente à parábola em .

Encontre a área da região

Determine para que a área delimitada por e a reta seja igual a .

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e sua largura. Então, calcule a área da região.

Encontre a área da região limitada por , e .

Determine a área abaixo da função

No intervalo

Os gráficos de

Se interceptam quatro vezes, limitando duas regiões. Encontre a área dessas regiões.

Calcule a área da região limitada pelos gráficos de e no intervalo

Considere as funções e . Calcule a área da região limitada pelos gráficos de e no intervalo .

Seja a região limitada entre e o eixo . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide em duas subregiões com áreas iguais.

2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável ou . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

b)

Calcule a área da região entre os gráficos das funções e e as retas e

Calcule a área da região indicada na figura abaixo, onde corresponde a reta e :

5) Seja a região localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujos pontos estão localizados acima da reta , abaixo da parábola e abaixo da hipérbole .

1. Esboce , indicando os pontos de interseção das curvas
2. Calcule a área de

Desenhe a região e calcule sua área:

Qual é a área do laço cercado pela curva

quando ?

Calcule a área da região que não contém a origem, sendo limitada pela rela e pela circunferência .

Calcule a área da região interior à elipse de equação .

3) Considere a região plana

1. Esboce a região
2. Escreva a área de como uma integral na variável
3. Calcule a área da região utilizando o método que preferir

Calcule a área da região compreendida entre as parábolas e .

Calcule a área da região em destaque na figura abaixo.

Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável x ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área de integração.

I)e

Calcule a área comum aos círculos limitados por e .

Calcule a área da região interior à lemniscata e exterior à circunferência de centro na origem e raio unitário.

2.5. Calcule o valor da menor área limitada entre as curvas e com .

2.4. Qual o valor da área limitada entre os gráficos de e ?

Considere dada por , e a reta tangente a seu gráfico no ponto de abscissa 4. Se é interceptado desta reta com o eixo , então a área hachurada na figura (fora de escala) abaixo é:

A reta de equação divide a região compreendida entre as parábolas de equações e em duas partes. Mostre que as áreas das regiões obtidas são iguais e calcule o seu valor.

Esboce e encontre a área da região delimitada pelo gráfico de , pela reta e pelos eixos e .

Calcule a área da região limitada pela curva de equação e por sua assíntota, situada À direita do eixo .

Seja a região plana dada por

a) Esboce a região Indique explicitamente os pontos de interseção entre as curvas.

b) Escreva a área da região através de uma integral na variável

c) Calcule a área da região

Esboce as regiões do plano delimitadas pelos gráficos e e calcule a área de cada uma dessas regiões.

Calcule a área da região

Calcule a área da região interior ao cardióide e à direita da reta .

A área da região delimitada pelas curvas e e as retas e é igual a:

A área da região delimitada pelas curvas e e as retas e é igual a:

Considere a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas , e .

1. Esboce a região .
2. Calcule a área de .

O valor da integral

é:

a)

b)

c)

d)

e)

O valor da integral

é:

a)

b)

c)

d)

e)

1. Esboce a região do plano delimitada pela parábola , pela reta e pelo eixo .
2. Calcule o valor da área da região .

Esboce a região delimitada pelas curvas e e calcule o valor numérico de sua área.

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(11) ,

Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções:

Calcule a área da região delimitada pelos gráficos das funções:

Calcule a área do conjunto :

3.5. Calcule a área entre as curvas e . Faça um esboço da situação.

Seja a região do primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e por . Suponha que a reta divida em duas sub-regiões de mesma área. Então vale:

Calcule a área da região

2) Seja a região plana delimitada pelas curvas , e conforme o esboço abaixo:

1. Escreva a área da região através de uma soma de integrais.
2. Calcule a área da região .

Questão 1:

Sejam e funções dadas por

e

e considere a região dada por

1. Esboce a região .
2. Escreva a área da região como uma soma de duas integrais na variável .
3. Escreva a área da região como uma soma de duas integrais na variável .
4. Calcule a área da região .

Questão 4: Sabe-se que as curvas e intersectam-se em exatamente três pontos com abscissas , e , respectivamente, onde é um número real negativo.

Calcule a área total, em termos de , da região entre as curvas para .

Dica: Faça um esboço destacando os pontos importantes e lembre-se que .

Questão 4) Considere as funções e . Calcule a área da região limitada pelos gráficos de e no intervalo .

Considere a função dada por:

(a) Esboce o gráfico de

(b) Considere a região definida por:

Escreva a área de como uma soma de integrais na variável

1) Calcule a área:

b) Da região .

1) Calcule a área:

a) Da região .

Considere a função dada por

1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
2. Determine os intervalos onde o gráfico de tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo.
3. Faça um esboço do gráfico de indicando explicitamente as abscissas dos pontos de máximo, de mínimo e de inflexão.
4. Sejam e as duas raízes da função no intervalo , , calcule

ME03) A área da região delimitada pelos gráficos de e é

Q04) Seja a região compreendida entre os gráficos das funções , e . Faça o que se pede abaixo:

1. Esboce a região , explicitando quais são os pontos de interseção entre as curvas.
2. Escreva (mas não calcule!) integrais que representem a área de .

4) Considere a região do plano limitada pelas curvas e com

1. Faça um esboço das curvas envolvidas no problema, indicando os pontos notáveis e hachurando a região .
2. Calcule a área da região .

Q01) Seja a região plana dada por:

1. Esboce abaixo a região . Indique explicitamente em seu desenho as coordenadas de três pontos que pertençam à fronteira da região.
2. Escreva a área da região através de uma soma de duas integrais na variável . Atenção: Neste item não é necessário calcular as integrais.
3. Escreva a área da região através de uma soma de duas integrais na variável . Atenção: Neste item não é necessário calcular as integrais.
4. Calcule a área da região utilizando o método que preferir.

Encontre a área da região sob a curva , no intervalo . Interprete geometricamente o resultado.

Seja . Considere a função definida por:

(a) Determine o valor de para que a função seja contínua e diferenciável em

(b) Seja o valor determinado no item anterior.

(b.1) Calcule

(b.2) Seja a região limitada pelo gráfico de e o eixo . Calcule a área de

(b.3) Os resultados dos itens (b.1) e (b.2) deveriam ser iguais? Justifique sua resposta

1. Determine os valores de para os quais
2. Sejam e os valores encontrados no item , determine a equação da parábola que tem vértice em e cujos pontos de interseção com o eixo são e
3. Esboce a região abaixo onde é a função determinada no item e e são os valores encontrados no item
4. Calcule a área da região

Determine a área da região limitada compreendida entre as curvas e .

Determine a área da região dentro do círculo e abaixo da reta .

1.3 Seja a região finita do plano, delimitada pelas curvas e . A área dessa região é representada pela expressão integral:

Calcule a área determinada pela curva em .

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

2. Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada pelo eixo dos , pela reta e pela curva . Faça um esboço da região, identificando claramente todos os pontos de interseção.

Considere a função

1. Sabendo que a curva acima é o gráfico de , determine
2. Determine todos os valores de que satisfazem a equação
3. Calcule a área da região

f e representadas abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área

1. Escreva o resultado das integrais em termos das medidas das áreas

Em cada item, determine a área da região sombreada.

Em cada item, determine a área da região sombreada.

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

b) , , e .

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

c) , , e .

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

a) , , e .

f e representadas abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área

1. Escreva as áreas e em termos de integrais

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

d) , , e .

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

e) , e .

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

f) e .

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

g) e .

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

h) e

Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

i) , e

Mostre que a área do círculo de raio é .

Considere a região do plano limitada pelas curvas e , com

Esboce a região , destacando os pontos notáveis da mesma.

(Atenção: não precisa determinar detalhadamente o crescimento/decrescimento nem a concavidade das funções envolvidas.)

Calcule a área de

A área da região delimitada pelas curvas e e as retas e é igual a:

2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável ou . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.

f)

Ache a região delimitada pela parábola a reta tangente a está parábola no ponto (1,1) e o eixo x

O gráfico abaixo representa a velocidade de um carro em função do tempo. Esboce o gráfico da posição do carro em função do tempo.

A seguinte figura mostra uma curva C com a seguinte propriedade: para cada ponto P na curva , as áreas e são iguais, ache uma equação para C.