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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 15

7-18 Esboce a região englobada pelas curvas e encontra a área

15. y = 2 x 2 + 1 , y = x

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

E vamos usar a integral da exponencial que é assim:

Passo 2

Vamos começar desenhando nosso gráfico para assim vermos como a região é delimitada!

Em preto está a curva y = 2 x 2 + 1 e em vermelho à direita está a função y = x e à esquerda está y = - x .

Essa figura é simétrica em relação ao eixo y , o que tem a direita é igual ao que tem à esquerda, então vamos fazer a integral pensando apenas na parte da direita e depois multiplicaremos por 2 .

Quem delimita acima é a função y = 2 x 2 + 1 e y = x , então

f x = 2 x 2 + 1   e   g x = x

Agora quem delimita à direita é x = 1   e à esquerda é x = 0 , então:

a = 0 e b = 1

Vamos montar a integral, lembrando que precisamos multiplicar por 2 a expressão da área:

A = ∫ 0 1 2 x 2 + 1 - x d x

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = 2 ∫ 0 1 2 x 2 + 1 - x d x = 2 F 1 - F ( 0 )

Vamos fazer primeiro a integral indefinda separadamente!

∫ 2 x 2 + 1 - x ) d x = 2 ∫ 1 x 2 + 1 d x - ∫ x d x

∫ 1 x 2 + 1 d x = tan - 1 ⁡ x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ 2 x 2 + 1 - x ) d x = 2 tan - 1 ⁡ x - x 2 2 + C

Então fazendo F 1 e F 0 , sabendo que F x = 2 tan - 1 ⁡ x - x 2 2

F 1 = 2 tan - 1 ⁡ x + x 2 2 = 2 tan - 1 ⁡ 1 + 1 2 2 = 2 π 4 - 1 2 = π 2 - 1 2

F 0 = 2 tan - 1 ⁡ 0 - 0 2 2 = 0 - 0 = 0

Voltando para a integral definida:

A = 2 ∫ 0 1 2 x 2 + 1 - x d x = 2 F 1 - F 0 = 2 π 2 - 1 2 = π - 1

Então a área é:

A = π - 1

Resposta

A = π - 1

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