Avalie sin (1) com erro em módulo inferior a 10^(- 5) .

Passo 1

Novamente, vamos precisar do polinômio de Taylor:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2 !) (x - x_0)^2 + ... + (f^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

E temos também a fórmula de Taylor com resto em Lagrange, que assume a seguinte forma:

f (x) = P (x) + (f^((n + 1)) (c))/((n + 1) !) (x - x_0)^(n + 1)

Queremos então :

f (1) = sin (1)

Passo 2

Com c in ] x_0 ; x [ e lembre-se de que cos (x) e sin (x) sempre oscilam entre - 1 e 1 , isso significa que:

|f^n (x)| = |sin^n (x)| <= 1

Então,

f (x) - P (x) = (f^(n + 1) (c))/((n + 1) !) (x - x_0)^(n + 1)

Se colocarmos entre módulos:

|f (x) - P (x)| = |(f^(n + 1) (c))/((n + 1) !)| |(x - x_0)^(n + 1)|

Ou seja:

|f (x) - P (x)| <= (1)/((n + 1) !) |(x - x_0)^(n + 1)|

Essa fórmula é um valor para sin (x) com erro inferior à (1)/((n + 1) !) |(x - x_0)^(n + 1)| .

Passo 3

Substituindo,

|underset(f ( x ))(ubrace sin (x)) - underset(P (x))(ubrace (sin (x_0) + cos (x_0) (x - x_0) - (sin (0))/(2 !) (x - x_0)^2 + ...))| <= (1)/((n + 1) !) (x - x_0)^(n + 1)

A agora, adotando x_0 = 0 :

|sin (x) - (sin (0) + cos (0) x - (sin (0) x^2)/(2 !) - (cos (0) x^3)/(3 !) + ... (sin^n 0 x^n)/(n !))| <= (x^(n + 1))/((n + 1) !)

Como sabemos, sin (0) = 0 e cos (0) = 1

|sin (x) - (x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) + ... (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !))| <= (x^(n + 1))/((n + 1) !)

Precisamos então, obter um n tal que o erro seja inferior a 10^(- 5) :

(x^(n + 1))/((n + 1) !) < 10^(- 5)

Como queremos encontrar sin (x) p a r a x = 1

(1)/((n + 1) !) < 10^(- 5)

Por tentativa, obtemos:

n = 8 : (1)/(9 !) < 10^(- 5)

Isso significa que:

sin (1) tilde= underset(n = 0)(ubrace 1) - (1)/(3 !) + (1)/(5 !) - (1)/(7 !) + (1)/(9 !) - (1)/(11 !) + (1)/(13 !) - (1)/(15 !) + underset(n = 8)(ubrace (1)/(17 !))

Resposta

Portanto encontramos, para um erro inferior a 10^(- 5) :

sin (1) tilde= underset(n = 0)(ubrace 1) - (1)/(3 !) + (1)/(5 !) - (1)/(7 !) + (1)/(9 !) - (1)/(11 !) + (1)/(13 !) - (1)/(15 !) + underset(n = 8)(ubrace (1)/(17 !))

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