Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.
(e)
Passo 1
Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.
O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.
Então:
Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:
Perceba então que no caso do nosso sistema,
Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
Passo 2
Obtemos:
Resolvendo essa equação, encontramos duas raízes, que também representam o que chamamos de “autovalores” da matriz A
Note que as raízes da equação serão complexas, do tipo: , teremos então:
Com
A cada autovalor podemos encontrar um autovetor associado, seja então o autovetor e utilizando :
Resolvendo essa operação matricial, chegamos no seguinte sistema:
Se tomarmos teremos que
Portanto para os autovalores obtemos a seguinte solução:
Lembre-se que, por relações de Laplace quando temos uma raíz complexa:
Então:
Logo,
Obtemos a seguinte solução:
Não se esqueça de que: ou seja:
A solução geral na forma matricial será:
Ou seja, “abrindo” essa equação matricial:
Passo 3
Agora, aplicando as condições iniciais:
Resolvendo o sistema, obtemos
Então a solução geral para a EDL dada, será:
Resposta
Concluimos que o sistema admite uma solução do tipo: