Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.

(e) x ˙ = - 2 x - y y ˙ = x - 2 y     e   x 0 = 1 y 0 = 0

Passo 1

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.

Então:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Perceba então que no caso do nosso sistema,

A = - 2 - 1 1 - 2

Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = - 2 - λ - 1 1 - 2 - λ = 0

Passo 2

Obtemos:

det ⁡ A - λ I = λ 2 + 4 λ + 5 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos duas raízes, que também representam o que chamamos de “autovalores” da matriz A

Note que as raízes da equação serão complexas, do tipo: m = a ± b i , teremos então:

λ = - 2 ± i

Com a = - 2     e   b = 1

A cada autovalor podemos encontrar um autovetor associado, seja então o autovetor v = m n e utilizando λ = - 2 + i :

- 2 - - 2 + i ⏟ λ - 1 1 - 2 - - 2 + i ⏟ λ   .   m n = 0 0

Resolvendo essa operação matricial, chegamos no seguinte sistema:

- i m - n = 0 m - i n = 0

Se tomarmos m = 1 teremos que n = - i

Portanto para os autovalores λ = - 2 ± i obtemos a seguinte solução:

x y = 1 - i e - 2 ± i t

Lembre-se que, por relações de Laplace quando temos uma raíz complexa:

e ( a ± b i ) t = e a t C o s b t + i sin ⁡ b t

Então:

e - 2 ± i t = e - 2 t cos ⁡ t + i sin ⁡ t

Logo,

x y = 1 - i e - 2 t cos ⁡ t + i sin ⁡ t

Obtemos a seguinte solução:

x t = e - 2 t cos ⁡ t + i sin ⁡ t y t = - i   e - 2 t cos ⁡ t + i sin ⁡ t

Não se esqueça de que: i 2 = - 1 , ou seja:

x t = e - 2 t cos ⁡ t + i sin ⁡ t y t =   e - 2 t sin ⁡ t - i cos ⁡ t

A solução geral na forma matricial será:

x y = C 1 cos ⁡ t sin ⁡ t e - 2 t + C 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t e - 2 t

Ou seja, “abrindo” essa equação matricial:

x t = C 1 e - 2 t cos ⁡ t + C 2 e - 2 t sin ⁡ t y t = C 1 e - 2 t sin ⁡ t - C 2 e - 2 t cos ⁡ t

Passo 3

Agora, aplicando as condições iniciais:

x 0 = C 1 e 0 cos ⁡ 0 + C 2 e 0 sin ⁡ 0 y 0 = C 1 e 0 sin ⁡ 0 - C 2 e 0 cos ⁡ 0

Resolvendo o sistema, obtemos C 1 = 1     e     C 2 = 0

Então a solução geral para a EDL dada, será:

x y = cos ⁡ t sin ⁡ t e - 2 t

Resposta

Concluimos que o sistema admite uma solução do tipo:

x t = e - 2 t cos ⁡ t y t = e - 2 t sin ⁡ t

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