Determine a série de Fourier da função dada:
(c)
Passo 1
Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.
È interessante que você tente esboçar o gráfico da função para ver como ela se comporta e então você vai perceber que se trata de uma função ímpar pois ela é simétrica em relação à ORIGEM.
Podemos introduzir então a fórmula geral de uma série de Fourier:
Onde são os coeficientes da série e .
Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas.
Passo 2
- Cálculo de
È muito importante que você se lembre da propriedade que diz:
Ela pode te poupar bastante tempo.
Como você percebeu que nossa é uma função ímpar, fica fácil ver que:
- Cálculo de
Outra sacada que pode te dar um tempo a mais nas provas, é que o produto de uma função ímpar por uma função par, resulta em outra função ímpar.
Sabendo que é ímpar e a função cosseno é par, teremos que .
E então:
Portanto,
Passo 3
Por último,
- Cálculo de :
Dessa vez não teremos escapatória da integral, pois temos o produto de duas funções ímpares; mas o produto de duas funções ímpares será uma função par, e ai podemos usar essa propriedade de funções pares que da uma mãozinha no processo:
Então:
Do enunciado
Portanto,
Lembre-se que de e relacionando isso com o círculo trigonométrico, se ímpar, cosseno será e caso cosseno será
Tendo isso em mente podemos denotar da seguinte forma:
Finalmente, só nos resta substituir na equação geral para uma série de Fourier:
Resposta
Portanto, tendo encontrado a série de Fourier para a função dada será da forma: