Determine a série de Fourier da função dada:

(c) f (x) = {[[1,,,,,,,s,e,,0,<=,x,<=,pi],[-,1,,,s,e,-,pi,<=,x,<=,0]])

Passo 1

Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.

È interessante que você tente esboçar o gráfico da função para ver como ela se comporta e então você vai perceber que se trata de uma função ímpar pois ela é simétrica em relação à ORIGEM.

Podemos introduzir então a fórmula geral de uma série de Fourier:

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) a_n cos ((n pi x)/(l)) + sum_(n = 1)^(oo) b_n sin ((n pi x)/(l))

Onde a_0 , a_n e b_n são os coeficientes da série e - pi <= l <= pi .

Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas.

Passo 2

  1. Cálculo de a_0 :

a_0 = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) d x

È muito importante que você se lembre da propriedade que diz:

int_(- a)^a f_í m p a r = 0

Ela pode te poupar bastante tempo.

Como você percebeu que nossa f ( x ) é uma função ímpar, fica fácil ver que:

a_0 = 0

  1. Cálculo de a_n :

a_n = (1)/(l) int_(- l)^l f (x) cos ((n pi x)/(l)) d x

Outra sacada que pode te dar um tempo a mais nas provas, é que o produto de uma função ímpar por uma função par, resulta em outra função ímpar.

Sabendo que f ( x ) é ímpar e a função cosseno é par, teremos que f (x) cos ((n pi x)/(l)) = f u n ç ã o í m p a r .

E então:

int_(- l)^l f (x) cos ((n pi x)/(l)) d x = 0

Portanto,

a_n = 0

Passo 3

Por último,

  1. Cálculo de b_n :

b_n = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) sin ((n pi x)/(l)) d x

Dessa vez não teremos escapatória da integral, pois temos o produto de duas funções ímpares; mas o produto de duas funções ímpares será uma função par, e ai podemos usar essa propriedade de funções pares que da uma mãozinha no processo:

int_(- a)^a f_p a r = 2 int_0^a f_p a r

Então:

b_n = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) sin ((n pi x)/(l)) d x = (2)/(pi) int_0^(pi) f ( x ) sin (n x) d x

Do enunciado f (x) = 1 , 0 <= x <= pi

Portanto,

b_n = (- 2)/(pi n) [ cos (n x) ] (pi)/(0)

Lembre-se que de n = 1,2 , 3,4 ... ; e relacionando isso com o círculo trigonométrico, se n ímpar, cosseno será - 1 ( cos (1 pi) ; cos (3 pi) ; ... ) e caso n p a r cosseno será 1 ( cos (2 pi) ; cos (4 pi) ; ... )

Tendo isso em mente podemos denotar da seguinte forma:

b_n = (2)/(pi n) [1 - (- 1)^n]

Finalmente, só nos resta substituir na equação geral para uma série de Fourier:

f (x) = sum_(n = 1)^(oo) (2)/(pi n) [1 - (- 1)^n] sin (n x)

Resposta

Portanto, tendo encontrado a_0 = 0 e a_n = 0 a série de Fourier para a função dada será da forma:

f (x) = (2)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) (1 - (- 1)^n)/(n) sin (n x)

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