Para cada natural n ≥ 1 , seja A n o círculo x 2 + y 2 ≤ n 2 . A sequência de termo geral é convergente ou divergente? Justifique.

a n = ∫ ∫ A n e - x 2 y 2 1 + x 2 + y 2 2 d x d y

Passo 1

Então galerinha, neste problema nós teremos que fazer uma comparação entre as séries, ok?

Vamos chamar:

b n = ∫ ∫ A n 1 1 + x 2 + y 2 d x d y

Se:

x 2 + y 2 = p

Então:

b n = 1 1 + p

Aplicando o limite:

lim p → + ∞ ⁡ b n = lim p → + ∞ ⁡ 1 1 + p = 0

Se é assim a nossa série:

∫ ∫ A n 1 1 + x 2 + y 2 d x d y     →       C o n v e r g e n t e ‼

Se vocês compararem as duas séries vão observar que:

e - x 2 y 2 1 + x 2 + y 2 ≤ 1 1 + x 2 + y 2

Por comparação nós comprovamos que:

∫ ∫ A n e - x 2 y 2 1 + x 2 + y 2 2 d x d y     →       C o n v e r g e n t e ‼

E é só isso galerinha !!

Resposta

C o n v e r g e n t e   ‼

Ver Outros Exercícios desse livro