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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 17

Em cada um dos Problemas 16 e 17, use a solução exata ϕ ( t ) para determinar e n + 1   e uma cota para e n em qualquer passo no intervalo 0   ≤   t   ≤   1 para o método de Euler aprimorado para o problema de valor inicial dado. Obtenha, também, uma cota para e 1 com h   =   0,1 e compare com a estimativa semelhante para o método de Euler e com o erro exato usando o método de Euler aprimorado.

17. y ' = 0,5 - t + 2 y ,     y 0 = 1,0

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado.

Olha só! Vamos primeiramente obter a solução exata do problema de valor inicial para essa equação...

Para isso, vamos reescrever a equação como uma E D O de primeira ordem de variáveis separáveis...

y ' - 2 y = 0,5 - t

Essa equação está no formato...

y ' + p t y = q t     p t = - 2 q t = 0,5 - t

Como p x = - 2 , o fator integrante vai ser...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ - 2 d t

μ t = e - 2 t

Depois, bora escrever a equação na forma abaixo...

( μ t ⋅ y ) ' = μ t ⋅ q t

( e - 2 t ⋅ y ) ' = e - 2 t ⋅ ( 0,5 - t )

( e - 2 t ⋅ y ) ' = 0,5 e - 2 t - t e - 2 t

Resolvendo ela...

( e - 2 t ⋅ y ) ' = 0,5 e - 2 t - t e - 2 t

- 2 e - 2 t y + e - 2 t y ' = 0,5 e - 2 t - t e - 2 t

y = t e - 2 t + 2 c 1 2 e - 2 t

y = t 2 + c 1 e 2 t

Logo, a nossa solução exata, considerando que aqui não trabalhamos com constantes, é...

ϕ t = t 2 + e 2 t

Passo 2

Agora, vamos partir pra fórmula do erro de truncamento local para o método de Euler aperfeiçoado, que é dada por...

e n + 1 = 1 6 ϕ ' ' ' ( t - n ) h 3

Tirando a primeira derivada de ϕ t …  

ϕ ' t = t 2 + e 2 t '

ϕ ' t = 1 2 + 2 e 2 t

Depois, a segunda derivada...

ϕ ' ' t = 1 2 + 2 e 2 t '

ϕ ' ' t = 4 e 2 t

E por fim, a terceira derivada...

ϕ ' ' ' t = 4 e 2 t '

ϕ ' ' ' t = 8 e 2 t

Temos que substituindo esses valores na fórmula do erro, ficamos com...

e n + 1 = 1 6 ⋅ 8 e 2 t - n ⋅ h 3

e n + 1 = 4 3 e 2 t - n h 3

Passo 3

Como 0   ≤   t   ≤   1 , então o maior valor que o erro pode assumir é 4 3 e 2 h 3 e ficamos com...

e n + 1 ≤   4 3 e 2 h 3

Agora, considerando a primeira iteração com h = 0,1 para o erro que chamaremos de e 1 ...

e n + 1 = 4 3 e 2 t - n h 3

e 1 = 4 3 e 2 ⋅ 1 ⋅ 0.1 ⋅ ( 0.1 ) 3

e 1 = 2 1500 e 0 . 2 = 1 750 e 0 . 2

e 1 = 1.6285 ⋅ 10 - 3

Passo 4

Pra finalizar, vamos as comparações. Usando o método de E u l e r ...

y n + 1 = y n + h 2 0,5 - t n + 2 y n + h 2 0,5 - t n + 1 + 2 K n

Sendo que...

K n = y n + h 0,5 - n h + 2 y n

Para a primeira iteração, temos que...

K n = y n + h 0.5 - n h + 2 y n

K 0 = y 0 + h 0.5 - n h + 2 y 0

K 0 = 1.0 + 0.1 ⋅ 0.5 + 2 ⋅ 1

K 0 = 1.25

y n + 1 = y n + h 2 0.5 - t n + 2 y n + h 2 0.5 - t n + 1 + 2 K n

y 1 = y 0 + h 2 0.5 - t 0 + 2 y 0 + h 2 0.5 - t 1 + 2 K 0

y 1 = 1.0 + 0.1 2 0.5 + 2 ⋅ 1 + 0,1 2 0.5 - 0.1 + 2 ⋅ 1.25

y 1 ≈ 1.270000

Já o valor exato, vai ser igual à...

ϕ 0,1 = t 2 + e 2 t

ϕ 0,1 = 0.1 2 + e 2 ⋅ 0.1

ϕ 0,1 = 1.271402758

De modo que subtraindo as duas...

ϕ 0,1 - y 1 = 1.271402758 - 1.27000

ϕ 0,1 - y 1 = 1.40275 ⋅ 10 - 3

No caso do erro relativo, teríamos que...

E r r o ϕ 0,1 - y 1 ϕ 0,1 = 1.27000 - 1.271402758 1.271402758

E r r o ϕ 0,1 - y 1 ϕ 0,1 = 1.103315 ⋅ 10 - 3

Podemos ver que a subtração, que é o erro absoluto, é menor do que o nosso erro de truncamento obtido. O mesmo vale para o erro relativo.

Resposta

E r r o   d e   t r u n c a m e n t o → e n + 1 = 2 3 e 2 t - n h 3 ,     e n + 1 ≤   2 3 e 2 h 3  

e 1 = 1 1500 e 0.2

y 1 ≈ 1.1000

ϕ 0,1 = 1.110701379

E r r o ϕ 0,1 - y 1 = 1.40275 ⋅ 10 - 3 < 1 750 e 0,2

E r r o ϕ 0,1 - y 1 ϕ 0,1 = 1.103315 ⋅ 10 - 3 < 1 750 e 0,2

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