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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 16

Em cada um dos Problemas 16 e 17, use a solução exata ϕ ( t ) para determinar e n + 1   e uma cota para e n em qualquer passo no intervalo 0   ≤   t   ≤   1 para o método de Euler aprimorado para o problema de valor inicial dado. Obtenha, também, uma cota para e 1 com h   =   0,1 e compare com a estimativa semelhante para o método de Euler e com o erro exato usando o método de Euler aprimorado.

16. y ' = 2 y - 1 ,     y 0 = 1,0

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado.

Olha só! Vamos primeiramente obter a solução exata do problema de valor inicial para essa equação...

Para isso, vamos reescrever a equação como uma E D O de primeira ordem de variáveis separáveis...

1 2 y - 1 y ' = 1

Depois bora resolver essa E D O ... Lembrando que queremos apenas a solução exata. Sem constantes, hein!?

1 2 y - 1 y ' = 1

1 2 ln ⁡ ( 2 y - 1 ) = t

2 y - 1 = e 2 t

2 y = e 2 t + 1 2

Logo, a nossa solução exata é...

ϕ t = 1 2 + 1 2 e 2 t

Passo 2

Agora, vamos partir pra fórmula do erro de truncamento local para o método de Euler aperfeiçoado, que é dada por...

e n + 1 = 1 6 ϕ ' ' ' ( t - n ) h 3

Tirando a primeira derivada de ϕ t …  

ϕ ' t = 2 ⋅ 1 2 e 2 t

ϕ ' t = e 2 t

Depois, a segunda derivada...

ϕ ' ' t = 2 ⋅ e 2 t

ϕ ' ' t = 2 e 2 t

E por fim, a terceira derivada...

ϕ ' ' ' t = 4 ⋅ e 2 t

ϕ ' ' ' t = 4 e 2 t

Temos que substituindo esses valores na fórmula do erro, ficamos com...

e n + 1 = 1 6 ⋅ 4 e 2 t - n ⋅ h 3

e n + 1 = 2 3 e 2 t - n h 3

Passo 3

Como 0   ≤   t   ≤   1 , então o maior valor que o erro pode assumir é 2 3 e 2 h 3 e ficamos com...

e n + 1 ≤   2 3 e 2 h 3

Agora, considerando a primeira iteração com h = 0,1 para o erro que chamaremos de e 1 ...

e n + 1 = 2 3 e 2 t - n h 3

e 1 = 2 3 e 2 ⋅ 1 ⋅ 0 . 1 ⋅ ( 0 . 1 ) 3

e 1 = 1 1500 e 0 . 2

e 1 = 8.1427 ⋅ 10 - 4

Passo 4

Pra finalizar, vamos as comparações. Usando o método de E u l e r aperfeiçoado...

y n + 1 = y n + h 2 2 y n - 1 + h 2 2 K n - 1

Sendo que...

K n = y n + h 2 y n - 1

Logo, ficamos com...

K 0 = y 0 + h 2 y 0 - 1

K 0 = y 0 + h 2 y 0 - 1

K 0 = 1.0 + 0.1 2 ⋅ 1.0 - 1

K 0 ≈ 1.10000

y n + 1 = y n + h 2 2 y n - 1 + h 2 2 K n - 1

y 1 = y 0 + h 2 2 y 0 - 1 + h 2 2 K n - 1

y 1 = 1.0 + 0.1 2 2 ⋅ 1.0 - 1 + 0.1 2 2 ⋅ 1.10 - 1

y 1 = 1.0 + 0.1 2 2 ⋅ 1.0 - 1 + 0.1 2 2 ⋅ 1.1000 - 1

y 1 ≈ 1.11000

Já o valor exato, vai ser igual à...

ϕ 0,1 = 1 2 + 1 2 e 2 t

ϕ 0,1 = 1 2 + 1 2 e 2 ⋅ 0,1

ϕ 0,1 = 1.110701379

De modo que subtraindo as duas...

ϕ 0,1 - y 1 = 1.110701379 - 1.1100

ϕ 0,1 - y 1 = 7.01379 ⋅ 10 - 4

Podemos ver que a subtração, que é o erro absoluto, é menor do que o nosso erro de truncamento obtido.

Resposta

E r r o   d e   t r u n c a m e n t o → e n + 1 = 2 3 e 2 t - n h 3 ,       e n + 1 ≤   2 3 e 2 h 3  

e 1 = 1 1500 e 0 . 2

y 1 ≈ 1 . 110

ϕ 0,1 = 1.110701379

E r r o ϕ 0,1 - y 1 = 7.01379 ⋅ 10 - 4 < 1 1500 e 0 . 2

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