6. Para cada n ≥ 1 , seja f n x = 1 n s e n   n x . Verifique que f n converge uniformemente, em R , à função f dada por f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x ) . É verdade que para todo x ,   f ' x = lim n → ∞ ⁡ f n ' ( x ) ? Este resultado está em contradição com o Teorema 3? Explique.

Passo 1

Seja f n x = 1 n s e n   n x

Temo f x = lim n → ∞ ⁡ f n x = lim n → ∞ ⁡ 1 n s e n n x = 0

Como s e n   n x ≤ 1 , segue que 1 n s e n   n x ≤ 1 n

Tomando n 0 tal que 1 n 0 < ε   n 0   s ó   d e p e n d e   d e   ε , resulta

n > n 0 → 1 n s e n   n x < ε para todo x real.

Portanto, a sequência dada converge uniformemente para f x = 0 , pois, para todo ε > 0 ,

Existe n 0   ( q u e   s ó   d e p e n d e   d e   ε ) tal que, para todo x ∈ R ,

n > n 0 → 1 n s e n   n x - 0 ≤ ε

Passo 2

Sejam f n x = 1 n s e n   n x ,

f x = 0 ,   f ' x = 0   e

f n x = cos ⁡ n x

Para x ≠ 0 ,   lim n → ∞ ⁡ f n ' x = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n x não existe.

Portanto, não é verdade que para todo x, f ' x = lim n → ∞ ⁡ f ' n x

O Teorema 3 exige que f n ' seja uniformemente convergente, o que não ocorre com a sequência f n ; logo, o resultado não está em contradição com o teorema citado.

Resposta

Resposta em texto.

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